[論文レビュー] On Arthur Merlin Games in Communication Complexity

Hartmut Klauck|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、新たな「片側分散」手法とパターン行列技術を用いて、内積や素性のない問題といった基本的問題のQMA通信複雑性に対して、新しい下界を確立する。量子メルリン＝アーサープロトコルが、共非決定性や相互作用を効率的にシミュレートできないことを示し、QMAがMA よりも厳密に強力であるが、依然として通信複雑性において共-NP を捉えるには不十分であることを証明する。

ABSTRACT

We show several results related to interactive proof modes of communication complexity. First we show lower bounds for the QMA-communication complexity of the functions Inner Product and Disjointness. We describe a general method to prove lower bounds for QMA-communication complexity, and show how one can 'transfer' hardness under an analogous measure in the query complexity model to the communication model using Sherstov's pattern matrix method. Combining a result by Vereshchagin and the pattern matrix method we find a communication problem with AM-communication complexity $O(\log n)$, PP-communication complexity $Ω(n^{1/3})$, and QMA-communication complexity $Ω(n^{1/6})$. Hence in the world of communication complexity noninteractive quantum proof systems are not able to efficiently simulate co-nondeterminism or interaction. These results imply that the related questions in Turing machine complexity theory cannot be resolved by 'algebrizing' techniques. Finally we show that in MA-protocols there is an exponential gap between one-way protocols and two-way protocols (this refers to the interaction between Alice and Bob). This is in contrast to nondeterministic, AM-, and QMA-protocols, where one-way communication is essentially optimal.

研究の動機と目的

• 通信複雑性における QMA、AM、MA の相対的パワーについての未解決問題を解消すること。
• 内積関数および素性のない関数の QMA-通信複雑性に対する下界を確立すること。
• 非インタラクティブな量子証明系が、インタラクティブまたは共非決定的プロトコルをシミュレートできるかどうかを調査すること。
• 代数化技術が通信複雑性クラスの分離を達成する際の限界を分析すること。
• 1ウェイと2ウェイの MA-プロトコルの間で指数的ギャップが存在するかどうかを示すこと。

提案手法

• QMA-通信複雑性に特化した新しい下界技術「片側分散」としての手法を導入する。
• シェルストフのパターン行列法を適応し、クエリ複雑性から通信複雑性へのハードネスの移行を実現する。
• AM 複雑性が低いが PP 複雑性が高い問題について、ヴェレシュチャギンの結果を用いて QMA 下界を導出する。
• 適切に構築された分布 ν の下での確率的解析を用いて、1ウェイプロトコルの誤差を抑え込む。
• 距離が大きい二値符号に関する組合せ的議論を用いて、1ウェイ矩形の誤差を抑え込む。
• 寄与が限定された 1 入力は除去可能であるという事実を活用し、プロトコル矩形内の高誤差領域を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QMA-通信複雑性は、通信複雑性における共-NP を効率的に捉えることができるか？
• RQ2 AM-通信複雑性が O(log n) であるが、QMA-通信複雑性が ω(n^{1/6}) であるような問題が存在するか？
• RQ3 1ウェイ MA-プロトコルは、2ウェイ MA-プロトコルよりも指数的に弱いか？
• RQ4 代数化技術は、通信複雑性における AM、QMA、PP の分離を解消するのに十分か？
• RQ5 素性のない問題の QMA-通信複雑性は Ω(n^{1/3}) で下界されるか？

主な発見

• 素性のない問題の QMA-通信複雑性は Ω(n^{1/3}) であり、これは共-NP が通信モデルにおいて QMA に含まれないことを示している。
• 2 で割った内積の QMA-通信複雑性は Ω(√n) であり、この下界は本質的にタイトである。
• AM-通信複雑性が O(log n)、PP-通信複雑性が Ω(n^{1/3})、QMA-通信複雑性が Ω(n^{1/6}) であるような部分関数 f が存在する。
• 難しい問題に対する1ウェイ MA-プロトコルは Ω(n) 通信量を要するため、1ウェイと2ウェイ MA-プロトコルの間で指数的ギャップが存在することが示唆される。
• これらの結果は、Turing 機械の世界において AM と PP、および QMA と共-NP の関係を解明するための代数化に依存する技術では、その関係を解明できないことを示唆する。
• 片側分散法は、素性のない問題や内積関数に限らず、他の関数に対しても適用可能な、QMA-通信複雑性の下界を証明する一般フレームワークを提供する。