[論文レビュー] On Artin L-functions and Gassmann Equivalence for Global Function Fields

Pavel Solomatin|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、誘導表現のアーティンL関数を用いて、算術的に同値なグローバル関数体の基準を確立し、数体に対するPerl'sの定理を関数体へ一般化する。2つの関数体が算術的に同値であるための必要十分条件は、そのガロア群の誘導表現に関連するアーティンL関数が一致することであり、有限個のL関数のリストによって非同型の関数体を区別する方法を提供するとともに、楕円曲線上の torsion 点を用いて例を構成する。

ABSTRACT

In this paper we present an approach to study arithmetical properties of global function fields by working with Artin L-functions. In particular we recall and then extend a criteria of two function fields to be arithmetically equivalent in terms of Artin L-functions of representations associated to the common normal closure of those fields. We provide few examples of such non-isomorphic fields and also discuss an algorithm to construct many such examples by using torsion points on elliptic curves. Finally, we will show how to apply our results in order to distinguish two global fields by a finite list of Artin L-functions.

研究の動機と目的

• グローバル関数体へPerl'sの定理（算術的に同値な数体）をアーティンL関数を用いて拡張すること。
• 誘導表現のアーティンL関数の等価性に基づく関数体の算術的同値性の基準を提供すること。
• 楕円曲線上の torsion 点を用いて、非同型の算術的に同値な関数体の具体的な例を構成すること。
• 任意の2つのグローバル関数体を区別するために、有限個のアーティンL関数のリストで十分であることを示すこと。

提案手法

• 関数体 $K$ と $K'$ を $\mathbb{F}_q(x)$ 上に持ち、ガロア群 $G=\operatorname{Gal}(N/\mathbb{F}_q(x))$ を持つガロア包 $N$ を用いる。
• $H=\operatorname{Gal}(N/K)$ および $H'=\operatorname{Gal}(N/K')$ を定義し、複素表現 $\alpha$ および $\alpha'$ に対して誘導表現 $\psi = \operatorname{Ind}^G_H(\alpha)$ と $\psi' = \operatorname{Ind}^G_{H'}(\alpha')$ を考える。
• すべての既約表現 $\rho_i$ に対して $L_K(\alpha \otimes \rho_i|_H) = L_{K'}(\alpha' \otimes \rho_i|_{H'})$ が成り立つことと、Gassmann三重対の条件が同値であることを確立する。
• クラス体論を用いて、特定の素点で分岐する次数 $l$ の巡回拡大を構成し、$l-1$ で割り切れる次数の素点のノームを用いる。
• $N$ と $K$ の適切な $l$-拡大の合成をとることで、$\operatorname{Gal}(M/F) \simeq C_l^n \rtimes G$ となるガロア拡大 $M$ を構成する。
• シュール–ザッセンハウゼの定理を用いて拡大が分解することを示し、半直積構造を保証し、$N$ 上での $C_l$-拡大の線形的非交差性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバル関数体の算術的同値性は、誘導表現のアーティンL関数の等価性によって特徴付けられるか？
• RQ2 関数体においてデデキンドゼータ関数が分岐型を検出できない場合、同値性基準に代わるL関数が必要となるか？
• RQ3 楕円曲線上の torsion 点を用いて、非同型の関数体を体系的に構成できるか？
• RQ4 任意の2つの非同型グローバル関数体を区別するために、有限個のアーティンL関数のリストで十分か？
• RQ5 関数体の文脈において、Gassmann三重対の条件とL関数の等価性の関係は何か？

主な発見

• 本稿は、2つの関数体 $K$ と $K'$ が算術的に同値であるための必要十分条件が、すべてのガロア群 $G$ の既約表現 $\rho_i$ に対して $L_K(\alpha \otimes \rho_i|_H) = L_{K'}(\alpha' \otimes \rho_i|_{H'})$ が成り立つことであると証明する。
• この基準は、$H$ および $H'$ の部分群における任意の複素表現 $\alpha$ および $\alpha'$ へ、Nagataの結果を一般化している。
• 著者らは、$\mathbb{F}_q$ 上の楕円曲線上の torsion 点を用いて、無限に多くの非同型の算術的に同値な関数体のペアを構成する。
• 任意の2つの非同型グローバル関数体を区別するために、有限個のアーティンL関数のリストで十分であり、算術的同値性の完全不変量を提供する。
• 次数 $l-1$ で割り切れる素点を選んで選び、クラス体論を適用することで、ray class群内に $l$-部分群が存在することを保証し、ガロア拡大 $M$ の構成に依存する。
• ガロア群 $G$ の作用における異なる分岐性を用いて、$NL^{\sigma_i}/N$ の $C_l$-拡大の線形的非交差性を確立し、半直積構造を保証する。