[論文レビュー] On axiomatic formulation of gravity and matter field theories with MDRs and Finsler-Lagrange-Hamilton geometry on (co)tangent Lorentz bundles

Sergiu I. Vacaru|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2018

Advanced Differential Geometry Research被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、(co)接空間 Lorentz バンドル上での Finsler-Lagrange-Hamilton 幾何学を用いて、修正重力および物質場理論の公理的幾何的枠組みを提示する。修正分散関係（MDRs）を組み込むことでローレンツ不変性の破れと局所的異方性をモデル化し、正準 almost symplectic 形式と適応接続を用いて、質量のある重力子、二重計量構造、および短距離重力を含む一般化されたアインシュタイン方程式の自己整合的定式化を確立する。これにより、相対論的位相空間幾何学の枠組み内で、多様な量子的および古典的重力モデルが統一される。

ABSTRACT

We develop an axiomatic geometric approach and provide an unconventional review of modified gravity theories, MGTs, with modified dispersion relations, MDRs, encoding Lorentz invariance violations, LIVs, classical and quantum random effects, anisotropies etc. There are studied Lorentz-Finsler like theories elaborated as extensions of general relativity, GR, and quantum gravity, QG, models and constructed on (co) tangent Lorentz bundles, i.e. (curved) phase spaces or locally anisotropic spacetimes. An indicator of MDRs is considered as a functional on various type functions depending on phase space coordinates and physical constants. It determines respective generating functions and fundamental physical objects (generalized metrics, connections and nonholonomic frame structures) for relativistic models of Finsler, Lagrange and/or Hamilton spaces. We show that there are canonical almost symplectic differential forms and adapted (non) linear connections which allow us to formulate equivalent almost K\\"{a}hler-Lagrange / - Hamilton geometries. This way, it is possible to unify geometrically various classes of (non) commutative MGTs with locally anisotropic gravitational, scalar, non-Abelian gauge field, and Higgs interactions. We elaborate on theories with Lagrangian densities containing massive graviton terms and bi-connection and bi-metric modifications which can be modelled as Finsler-Lagrange-Hamilton geometries. An appendix contains historical remarks on elaborating Finsler MGTs and a summary of author's results in twenty directions of research on (non) commutative/ supersymmetric Finsler geometry and gravity; nonholonomic geometric flows, locally anisotropic superstrings and cosmology, etc.

研究の動機と目的

• 修正分散関係（MDRs）を組み込んだ、修正重力および物質場理論の幾何的統一的・公理的定式化を構築すること。
• 一般相対性理論および量子重力モデルを、局所的異方性、ローレンツ不変性の破れ（LIV）、および確率的効果を記述可能な (co)接空間 Lorentz バンドル上の Finsler的空間へと拡張すること。
• 適応（非）線形接続、d-計量、および almost Kähler 構造を用いて、一般化されたアインシュタイン-Finsler、-Lagrange、-Hamilton 重力理論を構築すること。
• 非可換的、超対称的、局所的に異方的な重力モデルを、一貫性のある場の運動方程式を持つ単一の幾何的形式主義で統一すること。
• 質量のある重力子、二重計量構造、短距離重力を含む因果的かつ自己整合的な MGT の枠組みを提供し、物性的および実験的検証を可能にすること。

提案手法

• 位相空間座標上の関数的として MDRs を定式化し、計量、接続、非線形構造などの Finsler的基礎対象を生成する。
• 正準 almost symplectic 形式と (co)接バンドル上での適応（非）線形接続を導入し、almost Kähler-Lagrange/Hamilton 幾何学を定義する。
• 非ホロノミー的 (co)接バンドル上での N-適応歪みと一般化されたアインシュタインテンソルの定式化を用いて、d-接続、曲率、リッチテンソルを導出する。
• 一般相対性、一般等価原理およびマッハの原理の一般化を適用し、MDRs を持つ Finsler-Lagrange-Hamilton 重力への一般相対性理論の拡張を実現する。
• d-計量および d-接続構造を用いて、アインシュタイン-ヤンミルズ-ヒッグス系、質量のある重力子、二重計量モデルのラグランジアン密度を位相空間上に構築する。
• 非ホロノミー的保存則と有効源項を含む、(co)接バンドル上での変分原理による修正場の運動方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 修正分散関係（MDRs）は、どのように位相空間上の重力および物質場理論の幾何的枠組みに体系的に組み込まれるか？
• RQ2 Finsler-Lagrange-Hamilton 幾何学は、局所的に異方的で、非可換的、質量のある重力モデルを統一する役割を果たすか？
• RQ3 適応接続および almost Kähler 構造を用いた (co)接空間 Lorentz バンドル上での、修正重力理論の自己整合的公理的定式化は達成可能か？
• RQ4 MDRs および非線形接続は、局所的に異方的な時空におけるアインシュタイン方程式および保存則の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 このような幾何的拡張が、短距離重力、質量のある重力子、二重計量モデルに与える影響は何か？

主な発見

• 本稿は、MDRs を用いて、(co)接空間 Lorentz バンドル上での修正重力および物質場理論の自己整合的公理的定式化を確立し、多様な量子的および古典的重力モデルの幾何的統一を可能にする。
• 正準 almost symplectic 形式と適応（非）線形接続が、同等の almost Kähler-Lagrange/Hamilton 幾何学の構築を可能にし、MGT の一貫性のある幾何的基盤を提供することを示している。
• Finsler-Lagrange-Hamilton 重力の一般化されたアインシュタイン方程式が導出され、質量のある重力子、二重計量構造、短距離相互作用のケースを含むが、すべて d-接続および d-テンソルを用いて定式化されている。
• 一般化された非対角項を有する非ホロノミー的配置を支持する枠組みであり、球対称で自明な N-接続の場合は、非自明な非線形構造がなければ、異方的 Finsler 重力は完全に記述できないことが示された。
• 先行する Finsler 重力研究における主な制限要因（正確な解の欠如、接続タイプ依存性）を同定し、提案された d-接続および d-計量形式主義により一貫性のある解への道筋を提示している。
• 既存の特異性定理および Finsler的時空における Raychaudhuri 型一般化が、非線形接続および特徴的接続の選択に極めて敏感であることが明らかになった。これにより、本稿で提案されたような一貫性のある幾何的枠組みの必要性が強調されている。