[論文レビュー] On Bahadur Efficiency of Power Divergence Statistics

Peter Harremoës, Igor Vajda|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2010

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、連続する代替仮説のもとで、ビン数が増加する条件下でも、非一様な帰無仮説が成り立つ場合でさえ、情報発散度統計量（α=1）がα>1のパワー発散度統計量よりも無限に高いバハドゥル効率を持つことを確立している。さらに、0<α≤1のパワー発散度統計量は互いに比較可能であり、α>1のものよりも効率的であることが示され、従来の技術的曖昧性が解消され、観測値の増加率や分布的仮定に関するより鋭い条件へと結果が拡張されている。

ABSTRACT

It is proved that the information divergence statistic is infinitely more Bahadur efficient than the power divergence statistics of the orders $α&gt;1$ as long as the sequence of alternatives is contiguous with respect to the sequence of null-hypotheses and the the number of observations per bin increases to infinity is not very slow. This improves the former result in Harremoës and Vajda (2008) where the the sequence of null-hypotheses was assumed to be uniform and the restrictions on on the numbers of observations per bin were sharper. Moreover, this paper evaluates also the Bahadur efficiency of the power divergence statistics of the remaining positive orders $0&lt; α\leq 1.$ The statistics of these orders are mutually Bahadur-comparable and all of them are more Bahadur efficient than the statistics of the orders $α&gt; 1.$ A detailed discussion of the technical definitions and conditions is given, some unclear points are resolved, and the results are illustrated by examples.

研究の動機と目的

• 従来のパワー発散度統計量のバハドゥル効率に関する結果を、一様な帰無仮説やビンあたりの観測数の stricter 増加条件を越えて拡張すること。
• これまで分析されていなかった範囲 0<α≤1 におけるパワー発散度統計量のバハドゥル効率を評価すること。
• 連続する代替仮説の文脈において、バハドゥル効率に関連する定義および条件に関する技術的曖昧性を解消すること。
• すべてのα>0 におけるバハドゥル効率の厳密な比較を確立し、特にα=1および0<α≤1がα>1を強く上回ることを示すこと。
• 一貫性および強いバハドゥル関数条件を満たすことで、バハドゥル効率の強い意味での有効性を確認すること。

提案手法

• 連続する代替仮説のもとで、帰無仮説と代替仮説の分布の発散が正の極限に収束するというバハドゥル効率の枠組みを用いる。
• Csiszárのパワー発散度族を適用し、α≠1 の場合に Dα(P,Q) = 1/(α(α−1)) × (∑pj^α qj^{1−α} − 1) を、α=1 の場合に D1(P,Q) = ∑pj ln(pj/qj) を使用する。
• 各αについてのバハドゥル関数 gα(Δ) の漸近的挙動を、検定統計量の収束速度を制御する列 cα(n) を用いて導出する。
• 異なるα値間のバハドゥル効率を比較するための技術的補題を用い、特に cα(n) の漸近的比較により、BE(D1,n; Dα,n) = ∞ がα>1 に対して成り立つことを証明する。
• バハドゥル効率が強い意味で定義されるように保証するため、収束性および一貫性に基づいて条件 C1 と C2 を導入・適用する。
• 具体的な列 k_n（ビン数）および増加率を用いた例を通じて、k_n → ∞ および k_n^{b(α)+1} ln n / n → 0 などのさまざまな仮定のもとで理論的結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様な帰無仮説のもとで、情報発散度統計量（α=1）のバハドゥル効率は、α>1 のパワー発散度統計量と比べてどのように異なるか？
• RQ2 0<α≤1 におけるパワー発散度統計量のバハドゥル効率の順位は何か？ また、それらは α>1 の統計量と比べてどのように異なるか？
• RQ3 帰無分布が非一様であり、ビンあたりの観測数の増加が緩やかな場合、D1,n のバハドゥル効率が Dα,n に対して無限に大きくなることは可能か？
• RQ4 ビン数 k_n の増加および発散パrameter α に関して、どのような条件下でバハドゥル効率が定義され、異なるα値間で比較可能となるか？
• RQ5 結果は強い意味で成り立つか、すなわち強い一貫性および強いバハドゥル関数条件のもとで成立するか？

主な発見

• 連続する代替仮説のもとで、非一様な帰無分布が成り立つ場合でさえ、情報発散度統計量（α=1）は、任意のα>1のパワー発散度統計量よりも無限に高いバハドゥル効率を持つ。
• 0<α≤1 の場合、すべてのパワー発散度統計量は互いにバハドゥル比較可能であり、すべてがα>1のものよりも効率的である。
• D1,n に対する Dα,n のバハドゥル効率は、α>1 に対して常に無限大（BE(D1,n; Dα,n) = ∞）である。これは、ビンあたりの観測数の増加が緩やかであっても、代替仮説の列が連続する限り成り立つ。
• 従来の研究よりも弱い条件下でも結果が成り立つ。一様な帰無分布の仮定を排除し、ビンあたりの観測数の増加率に関する制約も緩和している。
• 強い意味でのバハドゥル効率が確立されており、導出された条件下で強い一貫性および強いバハドゥル関数が確認されている。
• 特に、列 cα(n) の漸近的挙動および効率比較枠組みの妥当性に関する技術的定義および条件の曖昧性が解消された。