[論文レビュー] On base point free theorem of threefolds in positive characteristic

Chenyang Xu|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、特徴量 p > 5 の正の特性における klt 3次元多様体に対して、基本点自由定理を確立する。具体的には、X を射影的 klt 3次元多様体とし、L を X 上のネフでビッグなラインバンドルとする。L − K_X − Δ がビッグでネフであるとき、L は半アーモニックであることを示す。証明は、キールの相対的 EWM 定理、正の特性における一般化された最小モデルプログラム（MMP）の技法、および接続写像の特異的局所の還元による表面の豊富性を組み合わせる。

ABSTRACT

Let $(X, Δ)$ be a projective klt three dimensional pair defined over an algebraically closed field characteristic larger than 5. Let $L$ be a nef and big line bundle on $X$ such that $L-K_X-Δ$ is big and nef. We show that $L$ is indeed semi-ample.

研究の動機と目的

• 代数閉体の特徴量 p > 5 における klt 3次元多様体に対して、基本点自由定理を確立すること。
• L が特定のネフ性およびビッグネス条件を満たす場合に、K_X + Δ + L が準射影的基底 U 上で半アーモニックであることを示すこと。
• 一般化された MMP とキールの EWM 定理の組み合わせが、最終段階での一般化された MMP を必要とせず、半アーモニック性を示すのに十分であることを示すこと。
• 極小モデルプログラムにおける極値線の標準的収縮定理（正の特性において）を証明し、特にフリップの存在を含むこと。
• EWM 写像の特異的局所が dlt 対の境界 divisor に含まれることを示し、これにより表面の豊富性を適用可能にすること。

提案手法

• 正の特性におけるネフな除集合に対してキールの相対的 EWM 定理を用い、ゼロ交差をもつ曲線を収縮する代数空間への写像を保証する。
• HX13 および Birkar13 で開発された正の特性における3次元多様体の一般化された MMP を適用し、任意の係数を許容する MMP の実行を可能にする。
• 目標となる代数空間のエタール被覆を用いる標準的テクニックを用い、モデルを変更することで特異的局所を dlt 対の境界 divisor に含めることを可能にする。
• 問題を特異的局所での半アーモニック性の確認に還元し、これに klt 表面の豊富性を適用する。
• 負の補題と対数正則閾値技術を用いて dlt 変形を構成し、得られたモデル上で一般化された MMP を実行する。
• 数的自明な klt 表面対で、反 canonical divisor がネフである場合、Q-線形自明であるという結果を用い、半アーモニック性の結論を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された MMP と EWM 定理を用いて、正の特性 p > 5 における klt 3次元多様体の基本点自由定理を確立できるか？
• RQ2 K_X + Δ + L に関連する EWM 写像の特異的局所は、dlt 対の境界に含まれるモデルを有するか？
• RQ3 U 上での K_X + Δ + L の半アーモニック性は、EWM 写像の特異的局所での半アーモニック性と同値か？
• RQ4 正の特性における一般化された MMP を用いて、HX13 と同様に一般ケースを標準係数を持つ特別ケースに還元できるか？
• RQ5 基本点自由定理と EWM 定理から、正の特性におけるフリップの存在が導かれるか？

主な発見

• char(k) > 5 の仮定のもとで、L がネフでビッグであり、L − K_X − Δ がビッグでネフであるとき、K_X + Δ + L は U 上で半アーモニックである。
• EWM 写像 f: X → Z の終域 Z は準射影的多様体であり、ρ(X) − ρ(Z) = 1 である。これは、この設定において収縮定理が成り立つことを確認する。
• EWM 写像 f が小写像である場合、フリップ f^+: X^+ → Z が存在し、klt 3次元多様体の極小モデルプログラムにおけるフリップの存在を証明する。
• 適切なモデル変更（エタール基底変更および一般化された MMP を通じて）の後、特異的局所 Ex(f) は境界 divisor ⌊Δ⌋ の台に含まれる。
• K_X + Δ + L を特異的局所に制限したものは半アーモニックであり、これは klt 表面の豊富性から従う。
• この結果は、一般化された MMP が中間的手段として概念的に有用であることを示唆するが、最終的な収縮定理は古典的意味でのものであり、一般化されたフリップを必要としない。