[論文レビュー] On BIBO stability of systems with irrational transfer function

Ansgar Trächtler|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2016

Control Systems and Identification参考文献 9被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、有理でない伝達関数をもつ線形時不変系のBIBO安定性について、複素解析に基づく複雑な特徴付けを提示する。主な焦点は、閉じた右半平面に有限個の極と分岐点をもつメロモーレック関数に向けられている。インパulse応答の漸近展開を用いて、必要十分な安定性条件を導出し、コーシーの補題を用いてナイキスト基準を一般化するが、同次および非同次分岐点の次数を区別する必要がない。

ABSTRACT

We consider the input/output-stability of linear time-invariant single-input/single-output systems in terms of singularities of the transfer function F(s) in Laplace domain. The approach is based on complex analysis. A fairly general class of transfer functions F(s) is considered which can roughly be characterized by two properties: (1) F(s) is meromorphic with a finite number of poles in the open right half plane and (2), on the imaginary axes, F(s) may have at most a finite number of poles and branch points. For this class of systems, a complete and thorough characterization of BIBO stability in terms of the singularities in the closed right half-plane is developed where no necessity arises to differentiate between commensurate and incommensurate orders of branch points as often done in literature. A necessary and sufficient condition for BIBO stability is derived which mainly relies on the asymptotic expansion of the impulse response f(t). The second main result is the generalization of the well-known Nyquist citerion for testing closed-loop stability in terms of the open-loop frequency response locus to the class of systems under consideration which is gained by applying Cauchy's argument principle.

研究の動機と目的

• 有理でない伝達関数をもつ線形時不変系のBIBO安定性の包括的特徴付けを構築すること。
• 既存の安定性基準が同次および非同次分岐点の次数を区別する必要があるという制限を克服すること。
• インパulse応答の漸近的挙動に基づいた、BIBO安定性の必要十分条件を導出すること。
• 古典的ナイキスト基準をコーシーの補題を用いて、有理でない伝達関数をもつ系へと拡張すること。

提案手法

• 分析は、ラプラス領域における孤立特異点（極および分岐点）に焦点を当てた複素解析に基づく。
• 本稿では、開いた右半平面に有限個の極をもち、虚軸上に高々有限個の極と分岐点をもつ伝達関数を考察する。
• インバースラプラス変換（すなわちインパulse応答）の漸近展開に基づいて、BIBO安定性の必要十分条件を導出する。
• 開ループ伝達関数にコーシーの補題を適用することで、右半平面を囲む経路に沿った位相変化を解析し、一般化されたナイキスト基準を確立する。
• 分岐点の種類（極的、正規、高次）を区別し、それぞれが半円形経路に沿った位相変化に与える寄与を計算する。
• 虚軸上に存在する極および分岐点を含めた安定性解析を行い、分岐点の支配的指数κ₀ < 0 または κ₀ = 0 の場合も含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分岐点を含む有理でない伝達関数をもつ系のBIBO安定性の必要十分条件は何か？
• RQ2 右半平面に極および分岐点をもつ系に対して、古典的ナイキスト基準をどのように一般化できるか？
• RQ3 安定性解析において、同次および非同次分岐点の次数の区別を回避できるか？
• RQ4 異なる種類の分岐点（例：極的、正規、高次）がナイキスト型安定性テストにおける位相変化に与える寄与は何か？
• RQ5 有理でない伝達関数をもつ系において、インパulse応答の漸近的挙動とBIBO安定性の関係は何か？

主な発見

• インパulse応答の漸近展開に基づいて、BIBO安定性の必要十分条件が導出され、|g(t)|の絶対可積分性が保証される。
• 本稿では、BIBO安定性が成立するための必要十分条件が、インパulse応答が絶対可積分であること、すなわち∫₀^∞ |g(t)| dt < ∞ が収束することと同値であることを確立する。
• 一般化されたナイキスト基準は、右半平面を囲む経路に沿ったF₀(s)の位相変化を計算することで検証され、極および分岐点による寄与が明示的に計算されている。
• s = aに重複度kの極がある場合、小さな半円に沿った位相変化は−j k πである。一方、1 + F₀(s)の零点（すなわち閉ループの極）に対応する場合、位相変化は+j k πである。
• 支配的指数κ₀ < 0の極的分岐点では、位相変化はj κ₀ πである。κ₀ = 0でc₀ ≠ −1の正規分岐点では、ϱ → 0のとき寄与は消える。
• c₀ = −1でκ₀ = 0のとき、位相変化はj κ₁ πである。また、κ₀ > 0の場合は、半径ϱ → 0のとき寄与は0に近づく。