[論文レビュー] On biharmonic submanifolds in non-positively curved manifolds and $\varepsilon$-superbiharmonic submanifolds

Yong Luo|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非正曲率のリーマン多様体内の双調和部分多様体が最小であるための十分条件を、平均曲率ベクトルの$L^p$ノルムの積分条件を課すことによって確立する。さらに、この結果を$\varepsilon$-超双調和部分多様体へと拡張し、曲がった環境空間における最小性に関する新たな基準を提示する。

ABSTRACT

In the biharmonic submanifolds theory there is a generalized Chen's conjecture which states that biharmonic submanifolds in a Riemannian manifold with non-positive sectional curvature must be minimal. This conjecture turned out false by a counter example of Y-L. Ou and L. Tang in \cite{Ou-Ta}. However it remains interesting to find out sufficient conditions which guarantee this conjecture to be true. In this note we prove that: (a) Every complete biharmonic submanifolds (resp. hypersurfaces) $(M, g)$ in a Riemnnian manifold $(N, h)$ with non-positive sectional curvature (resp. Ricci curvature) which satisfies an integral condition: for some $p\in (0, +\infty)$, $\int_{M}|\vec{H}|^{p}du_g 0$ must be minimal. We also consider $\varepsilon$-superbiharmonic submanifolds defined recently in \cite{Wh} by G. Wheeler and prove similar results for $\varepsilon$-superbiharmonic submanifolds, which generalize the results in \cite{Wh}.

研究の動機と目的

• 非正曲率の多様体内における双調和部分多様体に関するチェンの一般化された予想の妥当性を調査すること。
• 既知の反例が存在するにもかかわらず、双調和部分多様体が最小であることを保証する十分な積分条件を同定すること。
• $\varepsilon$-超双調和部分多様体への分析を拡張し、この分野における最近の結果を一般化すること。
• 平均曲率ベクトルの$L^p$ノルムを用いた最小性の精密な基準を提示すること。

提案手法

• 分析は、部分多様体$M$上での平均曲率ベクトル$\vec{H}$の$L^p$ノルムに関する積分推定に依拠する。
• アンビエント多様体$N$の曲率仮定とボッハナー型の公式を適用し、$\vec{H}$の消滅を導出する。
• 部分多様体$M$の完備性と、断面曲率（または超曲面ではリッチ曲率）の非正性を用いて、$\vec{H}$の成長を制御する。
• $\varepsilon$-超双調和部分多様体のクラスを導入・分析し、双調和方程式の摂動に基づく定義を行う。
• 多様体$M$上で微分的恒等式を積分し、完備性の仮定の下で発散定理を適用する。
• 主な技術的ステップは、曲率および完備性の仮定の下で、$|\vec{H}|$の$L^p$可積分性が$\vec{H} \equiv 0$を強制することを示すことである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非正曲率の多様体内における双調和部分多様体が最小になるための、$|\vec{H}|$に関するどの積分条件が必要か。
• RQ2 平均曲率ベクトルの$L^p$ノルム条件のもとで、一般化されたチェンの予想は回復可能か。
• RQ3 $\varepsilon$-超双調和部分多様体は非正曲率の環境空間内でどのように振る舞うか。
• RQ4 部分多様体の完備性は最小性を保証するために果たす役割は何か。
• RQ5 これらの結果は、双調和部分多様体に関する以前の定理をどの程度一般化するか。

主な発見

• 非正断面曲率をもつリーマン多様体$N$内の任意の完備な双調和部分多様体$M$は、ある$p \in (0, +\infty)$に対して$\int_M |\vec{H}|^p \, du_g < \infty$が成り立つならば最小である。
• 超曲面の場合、$N$が非正リッチ曲率をもち、ある$p \in (0, +\infty)$に対して$\int_M |\vec{H}|^p \, du_g < \infty$が成り立つならば最小性が成立する。
• 与えられた曲率および完備性の仮定の下で、$|\vec{H}|$の$L^p$可積分性は$\vec{H} \equiv 0$を意味する。
• 結果は$\varepsilon$-超双調和部分多様体へと拡張され、[Wh]の結果を一般化する。
• 本稿は、$\vec{H}$の点ごとの有界性を要しない、最小性の新たな十分条件を提示する。
• 部分多様体$M$の完備性は、発散型定理を適用して$\vec{H} \equiv 0$を結論づけるために不可欠である。