[論文レビュー] On the generalized Chen's conjecture on biharmonic submanifolds

Ye‐Lin Ou, Liang Tang|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、5次元の正則的平坦な空間で、正の曲率をもつ厳密に負の断面曲率を持つ空間に、適切な双調和超平面のファイブレーションを構成することにより、双調和部分多様体に関する一般化されたチエンの予想を反証した。べき則的共形因子を用いたワーペッド積度量を用いて、非正曲率多様体内に非最小双調和部分多様体が存在することを示し、これにより予想が無効化された。

ABSTRACT

The generalized Chen's conjecture on biharmonic submanifolds asserts that any biharmonic submanifold of a non-positively curved manifold is minimal (see e.g., [CMO1], [MO], [BMO1], [BMO2], [BMO3], [Ba1], [Ba2], [Ou1], [Ou2], [IIU]). In this paper, we prove that this conjecture is false by constructing foliations of proper biharmonic hyperplanes in a 5-dimensional conformally flat space with negative sectional curvature. Many examples of proper biharmonic submanifolds of non-positively curved spaces are also given.

研究の動機と目的

• 非正曲率多様体内のすべての双調和部分多様体が最小でなければならないとする一般化されたチエンの予想を反証すること。
• 特に正則的平坦多様体において、非正曲率空間内に明示的な反例（適切な双調和部分多様体）を構成すること。
• 負の断面曲率をもつ空間に非最小双調和部分多様体が存在することを示し、部分多様体幾何学における長年の予想に挑戦すること。
• ユークリッド空間や双曲的空間を超えて、より一般の非正曲率リーマン多様体における適切な双調和部分多様体の分類を拡張すること。

提案手法

• t ∈ (0, 1/2) に対して、f(z) = (Az + B)^t というべき則的共形因子を用いて、ℝ⁵₊ 上に正則的平坦な計量を構成する。
• 係数 (a₁,a₂,a₃,a₄) ∈ S³(√(2t/(1−2t))) を満たすように、φ(x₁,…,x₄) = (x₁,…,x₄, ∑aᵢxᵢ + c) による等長埋め込みによって超平面のファイブレーションを定義する。
• 共形計量を用いて双調和性方程式を計算し、係数が特定の制約を満たす場合に埋め込みが双調和条件を満たすことを検証する。
• 曲率テンソルと関数 f(z) = (Az + B)^t の分析により、得られた正則的平坦空間の断面曲率が厳密に負であることを示す。
• 非正曲率多様体における任意の余次元 k ≥ 1 の部分多様体を、正則的平坦空間とユークリッド空間 ℝᵏ⁻¹ の積を用いて構成する。
• 文献 [Ou2] の結果を活用して、積埋め込みが適切な双調和的であることを確認する。これは各変数において双調和的であり、x 変数において適切であるためである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非正曲率多様体内のすべての双調和部分多様体が最小でなければならないという一般化されたチエンの予想は、一般に正しいか？
• RQ2 特に負の曲率をもつ非正曲率リーマン多様体内に、適切な双調和部分多様体が存在しうるか？
• RQ3 ワーペッド積計量における適切な双調和超平面の構成を可能にする共形因子 f(z) の条件は何か？
• RQ4 このような部分多様体は、非正曲率空間において任意の余次元で構成可能か？
• RQ5 このような部分多様体の存在が、一般化されたチエンの予想を無効にするか？

主な発見

• 一般化されたチエンの予想は、明示的な反例によって誤りであると示された。
• 5次元の正則的平坦なリーマン多様体で、断面曲率が厳密に負である空間には、適切な双調和超平面のファイブレーションが存在する。
• t ∈ (0, 1/2) に対して、f(z) = (Az + B)^t という共形因子を用いることで、負の曲率をもつ空間が得られる。
• 任意の t ∈ (0, 1/2) および (a₁,a₂,a₃,a₄) ∈ S³(√(2t/(1−2t))) に対して、埋め込み φ(x₁,…,x₄) = (x₁,…,x₄, ∑aᵢxᵢ + c) は適切な双調和超曲面を定義する。
• t ∈ (0, 1/2) のとき、(a₅² + b₅²)ff′′ − (f′)² < 0 であることから、正則的平坦空間の曲率は厳密に負である。
• ユークリッド空間との積を取ることで、非正曲率多様体内に任意の余次元 k ≥ 1 の適切な双調和部分多様体を構成した。