[論文レビュー] On blowing up extremal Kähler manifolds

Gábor Székelyhidi|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、相対的に安定な点における極値ケーラー多様体の blown-up が、小さな例外的除集合クラスにおいて極値計量を有することを確立している。これは、Arezzo-Pacard-Singer の結果を拡張するものである。摂動されたモーメント写像と有限次元障害理論を用いて、吹き上げ点の GIT ポリ安定性が、元の多様体がケーラー＝アインシュタインである場合、吹き上げにおける定数スカラー曲率ケーラー (cscK) 計量の存在を示している。

ABSTRACT

We show that the blowup of an extremal Kahler manifold at a relatively stable point in the sense of GIT admits an extremal metric in Kahler classes that make the exceptional divisor sufficiently small, extending a result of Arezzo-Pacard-Singer. We also study the K-polystability of these blowups, sharpening a result of Stoppa in this case. As an application we show that the blowup of a Kahler-Einstein manifold at a point admits a constant scalar curvature Kahler metric in classes that make the exceptional divisor small, if it is K-polystable with respect to these classes.

研究の動機と目的

• これまでに知られていた範囲を越えて、極値ケーラー多様体の吹き上げにおける極値計量の存在結果を拡張すること。
• 特に元の多様体の幾何学的性質と関連して、極値ケーラー多様体の吹き上げにおける K-ポリ安定性条件を精緻化すること。
• ケーラー＝アインシュタイン多様体の吹き上げが、小さな例外的除集合クラスにおいて定数スカラー曲率ケーラー (cscK) 計量を有する条件を確立すること。
• モーメント写像および Futaki 不変量の解析を通じて、代数幾何的安定性 (GIT ポリ安定性) と吹き上げにおける極値計量の存在を結びつけること。

提案手法

• クラス $\pi^*[ω] - \varepsilon^2[E]$ の吹き上げ $Bl_pM$ に、摂動された計量 $ω_{p,\varepsilon}$ とベクトル場 $h_{p,\varepsilon} \in \mathfrak{g}$ を導入し、極値性が $h_{p,\varepsilon}$ が $p$ で消えることと同値であるようにする。
• モーメント写像 $\mu$ の摂動である写像 $h_\varepsilon: M \to \mathfrak{g}$ を定義し、無限次元問題を有限次元の消える条件に還元する。
• 摂動論的議論により、$\mu(p) = 0$ ならば、複素化された軌道 $G^c \cdot p$ 内に点 $q$ が存在し、$h_\varepsilon(q) = 0$ となることが示され、これにより $Bl_qM$ に極値計量が存在することが導かれる。
• Kempf-Ness 定理とモーメント写像理論を用いて、極性化 $L + \delta K_M$ に関して、GIT ポリ安定性が $\mu(p) + \delta \Delta \mu(p) = 0$ であることと関連づける。
• asymptotic 展開を $\varepsilon$ に関して用いて、吹き上げにおける Futaki 不変量を解析し、$h(p) = \Delta h(p) = 0$ のときにはそれが消えることを示す。
• 補題 28 を用いて、リッチ形式とモーメント写像のラプラシアンとの関係を示し、$\mu(p) = 0$ かつ $\Delta \mu(p) = 0$ ならば、吹き上げにおける Futaki 不変量が消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極値ケーラー多様体の点における吹き上げが、小さな例外的除集合クラスにおいて極値計量を有するのはどのような条件下か？
• RQ2 吹き上げ点の GIT ポリ安定性は、吹き上げにおける定数スカラー曲率ケーラー計量の存在とどのように関係するか？
• RQ3 吹き上げの K-ポリ安定性は、元の多様体上のモーメント写像条件として特徴付けられるか？
• RQ4 モーメント写像のラプラシアンは、吹き上げにおける Futaki 不変量の消える条件を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 モーメント写像の摂動は、無限次元問題から有限次元障害へと還元するためにどのように機能するか？

主な発見

• 極値ケーラー多様体の点 $p$ における吹き上げは、十分に小さい $\varepsilon > 0$ に対して、クラス $\pi^*[ω] - \varepsilon^2[E]$ に極値計量を有する。ただし $\mu(p) = 0$ のとき。
• 元の多様体がケーラー＝アインシュタインであり、$p$ が GIT ポリ安定であるとき、吹き上げは小さな例外的除集合クラスにおいて定数スカラー曲率ケーラー計量を有する。
• 吹き上げ上の任意の正則ベクトル場の Futaki 不変量は、クラス $\pi^*[ω] - \varepsilon[E]$ において、$h(p) = \Delta h(p) = 0$ のとき消える。ここで $h$ はベクトル場のハミルトニアンである。
• $\mu(p) = 0$ ならば、十分に小さい $\delta$ に対して $\mu(p) + \delta \Delta \mu(p) = 0$ が成り立ち、これは $L + \delta K_M$ に関する GIT ポリ安定性を特徴付ける。
• 証明はモーメント写像の摂動を通じて、極値計量の存在を有限次元問題に還元し、$\mu(p) = 0$ ならば $h_\varepsilon$ が $p$ の $G^c$-軌道内の点で消えることを示している。
• この結果は、Stoppa の K-ポリ安定性結果を精緻化しており、$\varepsilon$ が十分に小さいとき、点 $p$ の GIT ポリ安定性が吹き上げの K-ポリ安定性をもたらすことを示している。