[論文レビュー] On C_2-cofiniteness of parafermion vertex operator algebras

Chongying Dong, Qing Wang|arXiv (Cornell University)|May 11, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、任意のアフィンカク＝ムーディ代数 $\mathfrak{g}$ に対して、パラフェルミオン頂点 operator 代数 $K(\mathfrak{g},k)$ の $C_2$-cofiniteness が $K(sl_2,k)$ の正則性によって示されることを確立し、小さなレベルに対して $C_2$-cofiniteness を証明するとともに、非 simply laced 型に対して $K(\mathfrak{g},1)$ を明示的に分類している。これには、$L(\frac{1}{2},0) \otimes L(\frac{7}{10},0)$ や $L(\frac{4}{5},0) \oplus L(\frac{4}{5},3)$ といった既知の有理的 VOA への同型が含まれる。この結果により、広範な条件下でこれらの VOA に対する $C_2$-cofiniteness と有限次元表現理論が確認された。

ABSTRACT

It is proved that the regularity of parafermion vertex operator algebras associated to integrable highest weight modules for affine Kac-Moody algebra A_1^{(1)} implies the C_2-cofiniteness of parafermion vertex operator algebras associated to integrable highest weight modules for any affine Kac-Moody algebra. In particular, the parafermion vertex operator algebra associated to an integrable highest weight module of small level for any affine Kac-Moody algebra is C_2-cofinite and has only finitely many irreducible modules. Also, the parafermion vertex operator algebras with level 1 are determined explicitly.

研究の動機と目的

• アフィンカク＝ムーディ代数の整数重み最高ウェイトモジュールに対するパラフェルミオン頂点 operator 代数 $K(\mathfrak{g},k)$ の $C_2$-cofiniteness を確立すること。
• 小さなレベル $k$ に対して $K(\mathfrak{g},k)$ が $C_2$-cofinite であり、有限個の非可約モジュールを持つかどうかを特定すること。
• 非 simply laced Lie 代数 $\mathfrak{g}$ に対して $K(\mathfrak{g},1)$ の構造を明示的に分類すること、$B_l, C_l, F_4, G_2$ を含む。
• $B_l, C_l, F_4, G_2$ のタイプに対して $K(\mathfrak{g},1)$ がレベル 2 もしくは 3 の $A$ 型パラフェルミオン VOA と同型であることを示すこと。
• $\mathfrak{g}$ が $ADE$ 型で $k \leq 6$、$G_2$ で $k \leq 2$、$B_l, C_l, F_4$ で $k \leq 3$ の場合に、$K(\mathfrak{g},k)$ が $C_2$-cofinite であり、有限次元表現理論を持つことを確認すること。

提案手法

• 正の根 $\alpha$ に対して $k_\alpha \in \{k,2k,3k\}$ に従い、$K(\mathfrak{g},k)$ が $K(sl_2,k_\alpha)$ によって生成されることを示した [11] の生成結果を活用する。
• バーチャル・ボソン化の単位的表現におけるヘルミート作用素の性質を用いて、$K(\mathfrak{g},1)$ の構造を分析する。
• [26] の手法を応用し、通常モジュールの完備化における最大の弱モジュールを構成することで、$K(\mathfrak{g},1)$ の分類を支援する。
• 補題 4.3 の同型結果を用いて、$C_l$ に対しては $K(\mathfrak{g},1) \cong K(A_{l-1},2)$、$F_4$ に対しては $K(A_2,2)$、$G_2$ に対しては $K(A_1,3)$ であることを同定し、既知の VOA に問題を還元する。
• 中心的荷重と整数荷重制約を分析することで、$K(B_l,1)$ が $L(\frac{1}{2},0)$ に同型であることを示し、これは $L(\frac{1}{2},0)$ の唯一の拡張である。
• $L(\frac{1}{2},0)$ と $L(\frac{7}{10},0)$ の非可約モジュールの分類を用いて、$K(A_2,2)$ の完全な分解をテンソル積の直和として特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $K(sl_2,k)$ の正則性が、任意のアフィンカク＝ムーディ代数 $\mathfrak{g}$ に対して $K(\mathfrak{g},k)$ の $C_2$-cofiniteness を示すか？
• RQ2 小さなレベル $k$ に対して $K(\mathfrak{g},k)$ が $C_2$-cofinite であり、有限次元表現型であるか？
• RQ3 $\mathfrak{g}$ が $B_l, C_l, F_4, G_2$ のタイプであるとき、$K(\mathfrak{g},1)$ の明示的構造は何か？
• RQ4 非 simply laced 型のパラフェルミオン VOA $K(\mathfrak{g},1)$ は、$K(A_n,m)$ のような既知の有理的 VOA と同型であるか？
• RQ5 $K(\mathfrak{g},1)$ の表現理論は、既知の有理的 VOA のテンソル積への分解によって完全に特定可能か？

主な発見

• $K(\mathfrak{g},k)$ の $C_2$-cofiniteness が、任意のアフィンカク＝ムーディ代数 $\mathfrak{g}$ に対して $K(sl_2,k)$ の正則性によって示されることを示し、重要な還元原理を確立した。
• $\mathfrak{g}$ が $ADE$ 型で $k \leq 6$、$G_2$ で $k \leq 2$、$B_l, C_l, F_4$ で $k \leq 3$ の場合、パラフェルミオン VOA $K(\mathfrak{g},k)$ は $C_2$-cofinite であり、有限個の非可約モジュールを持つ。
• $K(B_l,1)$ は $L(\frac{1}{2},0)$ に同型であり、これは整数荷重制約により $L(\frac{1}{2},0)$ の唯一の拡張である。
• $K(C_l,1) \cong K(A_{l-1},2)$ および $K(F_4,1) \cong K(A_2,2)$ であり、両者とも補題 4.3 の同型により得られた。
• $K(A_2,2)$ は明示的に $L(\frac{1}{2},0) \otimes L(\frac{7}{10},0) \oplus L(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \otimes L(\frac{7}{10},\frac{3}{2})$ に分解され、有理的かつ有限次元表現理論を持つことが確認された。
• $K(G_2,1)$ は $K(A_1,3)$ に同型であり、これは既知の有理的 VOA であり、$L(\frac{4}{5},0) \oplus L(\frac{4}{5},3)$ に同型であり、非可約モジュールが分類されている。