[論文レビュー] On Cannon-Thurston maps for relatively hyperbolic groups

Yoshifumi Matsuda, Shin-ichi Oguni|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、任意の非初等的相対的双曲群 $G$ が、その共役不変な無限部分群の真部分群の族 $χ$ に対して相対的であるとき、$∂(G,χ)$ から $∂(G',χ')$ へのキャンン・サザンダース写像が存在しないような、$G$ を含む双曲群 $G'$ が存在することを示している。この構成は、双曲的に入埋め込まれた部分群を用い、ランク3の自由群に関してベイカーとライリーの結果を一般化することで、自由群に限らない非存在現象を拡張している。

ABSTRACT

Baker and Riley proved that a free group of rank 3 can be contained in a hyperbolic group as a subgroup for which the Cannon-Thurston map is not well-defined. By using their result, we show that the phenomenon occurs for not only a free group of rank 3 but also every non-elementary hyperbolic group. In fact it is shown that a similar phenomenon occurs for every non-elementary relatively hyperbolic group.

研究の動機と目的

• ランク3の自由群に関してベイカーとライリーが示した結果を、すべての非初等的相対的双曲群へ一般化すること。
• キャンン・サザンダース写像の非存在が自由群に限らないこと、すべての非初等的双曲群および相対的双曲群へ拡張されることを示すこと。
• 任意の非初等的相対的双曲群 $G$ を含む、キャンン・サザンダース写像が非存在であるような双曲群 $G'$ の明示的構成を行うこと。
• キャンン・サザンダース写像の非存在が、$G$ が $G'$ において相対的準線形性を満たさないことに起因することを確立すること。

提案手法

• ランク3の自由群が、キャンン・サザンダース写像が定義されないような双曲的上位群をもつことを利用したベイカーとライリーの結果を用いる。
• $χ$ を拡張する共役不変な部分群族 $χ'$ を持つ、$G$ を部分群として含む双曲群 $G'$ を構成し、$G'$ が $χ'$ に関して双曲的であるようにする。
• 双曲的に入埋め込まれた部分群の理論と幾何的に有限な収束作用を用いて、極限集合と境界写像を分析する。
• 背理法により、$G$--equivariant かつ連続な境界写像が存在すると仮定し、その仮定が双曲的部分群のグロモフ境界間の-equivariant 写像の非存在と矛盾することを示す。
• 相対的構造に関して強く準線形な部分群は、グロモフ境界への境界の位相的同相を与えるが、構成された状況ではその性質が成立しないことを利用する。
• もし $G$ が $χ'$ に関して準線形的であれば、境界写像が存在することになり、構成と矛盾することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由群のランク3において示されたキャンン・サザンダース写像の非存在は、すべての非初等的相対的双曲群へ拡張可能か？
• RQ2 任意の非初等的相対的双曲群 $G$ に対して、キャンン・サザンダース写像が非存在であるような双曲的上位群 $G'$ の構成は可能か？
• RQ3 $χ \subset χ'$ が成り立つ場合でも、$G$-equivariant かつ連続な境界写像が存在しない条件は何か？
• RQ4 キャンン・サザンダース写像の非存在は、$G$ が $G'$ において相対的準線形性を満たさないことに等しいか？
• RQ5 幾何的に無限の収束作用を持つ空間が、幾何的に有限な作用を持つ空間の逆極限として現れる可能性はあるか？

主な発見

• 任意の非初等的相対的双曲群 $G$ とその $χ$ に対して、$G$ が $G'$ において $χ'$ に関して準線形でないような、$G$ を含む双曲群 $G'$ が存在する。
• $∂(G,χ)$ から $∂(G',χ')$ へのキャンン・サザンダース写像は存在しないが、すべての $H \in χ$ が $χ'$ のある $H'$ に共役である。
• ベイカーとライリーの結果をランク3の自由群からすべての非初等的相対的双曲群へ一般化した。
• 極限集合 $Λ(G, \partial(G',χ'))$ は、$∂(G,χ)$ からの $G$-equivariant 連続写像の像にはなり得ないため、境界写像の非存在が示される。
• 空間 $Y = Λ(G, \partial(G',χ'))$ は、$G$ の幾何的に有限な収束作用を持つコンパクトな距離空間の逆極限として表せない。これは境界写像の非存在に起因する。
• 境界 $X = \partial(G,χ)$ と $Y = Λ(G, \partial(G',χ'))$ の共通のブロー・アップは存在しない。なぜなら、それが存在すればキャンン・サザンダース写像が存在することになってしまうからである。