[論文レビュー] On categories of equivariant D-modules

András C. Lőrincz, Uli Walther|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 49被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、G-軌道が有限個である代数的多様体 X 上の G-不変 D-加群を研究し、その圏が関係を持つ有限クーヴィエルに値をとる有限次元表現の圏に同値であることを示している。可約な球面的 G-多様体、例えば行列空間のような場合、クーヴィエルは一般的に表現有限である。著者らは、ねじれフーリエ変換およびモーメント写像の技法を用いて、特徴的サイクルとピャセツキー対応を明示的に記述している。

ABSTRACT

Let $X$ be a variety with an action by an algebraic group $G$. In this paper we discuss various properties of $G$-equivariant $D$-modules on $X$, such as the decompositions of their global sections as representations of $G$ (when $G$ is reductive), and descriptions of the categories that they form. When $G$ acts on $X$ with finitely many orbits, the category of equivariant $D$-modules is isomorphic to the category of finite-dimensional representations of a finite quiver with relations. We describe explicitly these categories for irreducible $G$-modules $X$ that are spherical varieties, and show that in such cases the quivers are almost always representation-finite (i.e. with finitely many indecomposable representations).

研究の動機と目的

• G が再帰的である場合を含め、G-軌道が有限個である多様体上の G-不変 D-加群の構造を理解すること。
• G が有限個の軌道で作用する場合、強い不変性を持つ D-加群の圏が関係を持つ有限クーヴィエルの表現の圏に同値であることを記述すること。
• 線形再帰的 G に対して、モーメント写像を用いて、単純な不変 D-加群の全体切断の重複度としての重みの重複度を分析すること。
• 可約な球面的 G-多様体、例えば行列空間上での単純な不変 D-加群の特徴的サイクルおよびピャセツキー対応を計算すること。
• 対称行列、反対称行列、m×n 行列空間など、代表的な例について、明示的なクーヴィエル記述および表現有限性の結果を提供すること。

提案手法

• G による X の軌道分解を用い、軌道上の不変局所系の既約性により、単純な強い不変 D-加群を分類する。
• G が有限個の軌道で作用する場合、G-不変 D-加群の圏を分類する関係を持つ有限クーヴィエルを構成する。
• ねじれフーリエ変換を適用し、双対空間上の D-加群を関連づけ、フーリエ双対性を用いてピャセツキー対応を計算する。
• モーメント写像の技法を用いて、線形再帰的 G に対して、単純 D-加群の全体切断における重みの重複度を推定する。
• Bernstein–Sato 多項式および還元法を用いて、D-加群の構造および特徴的多様体を分析する。
• Riemann–Hilbert 対応および半単純的・ simply 連結な場合に強い不変性が拡張に関して保存されることを活用し、特徴的多様体を軌道の余接束に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G が X に作用して有限個の軌道を持つ場合、G-不変 D-加群の圏はどのように記述できるか？
• RQ2 有限個の軌道を持つ場合、G-不変 D-加群を分類する関係を持つクーヴィエルの構造は何か？
• RQ3 可約な球面的 G-多様体、例えば行列空間のような場合、対応するクーヴィエルは表現有限であるか？
• RQ4 単純な不変 D-加群の特徴的サイクルは、G-軌道の余接束にどのように関係するか？
• RQ5 ねじれフーリエ変換は、不変 D-加群のピャセツキー対応を計算する際に果たす役割は何か？

主な発見

• G が X に作用して有限個の軌道を持つ場合、G-不変 D-加群の圏は関係を持つ有限クーヴィエルの有限次元表現の圏に同値である。
• 可約な球面的 G-多様体、例えば m×n 行列空間、反対称行列、対称行列、および特定のテンソル積に対して、対応するクーヴィエルはほとんど常に表現有限である。
• Sp_{2n} ⊗ GL_3 で n ≥ 3 の場合、頂点 (r,s) が軌道に対応するクーヴィエルは、2-サイクルがゼロである関係および孤立頂点 (3,2) と (0,0) を含む。
• ねじれフーリエ変換により、単純 D-加群は次のように写される：S_{3,2} ↦ S_{0,0}、S_{2,2} ↦ S_{1,0}、S_{3,0} ↦ S_{2,0}、これによりピャセツキー対応が定まる。
• 各単純不変 D-加群 S_{r,s} の特徴的多様体は既約であり、軌道 O_{r,s} の余接束の閉包に等しい。すなわち、charC(S_{r,s}) = [T^*_{O_{r,s}}X] である。
• 線形再帰的かつ位相的に連結な G および滑らかな X に対して、単純 D-加群の全体切断における重みの重複度はモーメント写像の像によって有界づけられ、幾何的不変量を用いた推定が可能である。