[論文レビュー] Homological invariants in category O for the general linear superalgebra

Kevin Coulembier, Vera Serganova|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、一般線型スーパー代数 𝔤𝔩(m|n) のカテゴリカル 𝒪 におけるホモロジー的不変量—射影次元、関連付ける多様体、複雑度—を調査する。有限射 projektive 次元は、ちょうど自明な関連付ける多様体に対応し、複雑度は非典型的性を符号化していることが示された。主な結果は、同一のグローバルホモロジー的不変量（特異性と非典型性）を持つ整数的ブロックであっても、それらが同値でないことがあることであり、これは 𝔤𝔩(3|1) において明示的に示された。

ABSTRACT

We study three related homological properties of modules in the BGG category O for basic classical Lie superalgebras, with specific focus on the general linear superalgebra. These are the projective dimension, associated variety and complexity. We demonstrate connections between projective dimension and singularity of modules and blocks. Similarly we investigate the connection between complexity and atypicality. This creates concrete tools to describe singularity and atypicality as homological, and hence categorical, properties of a block. However, we also demonstrate how two integral blocks in category O with identical global categorical characteristics of singularity and atypicality will generally still be inequivalent. This principle implies that category O for gl(m|n) can contain infinitely many non-equivalent blocks, which we work out explicitly for gl(3|1). All of this is in sharp contrast with category O for Lie algebras, but also with the category of finite dimensional modules for superalgebras. Furthermore we characterise modules with finite projective dimension to be those with trivial associated variety. We also study the associated variety of Verma modules. To do this, we also classify the orbits in the cone of self-commuting odd elements under the action of an even Borel subgroup.

研究の動機と目的

• 基本的古典的リー超代数、特に 𝔤𝔩(m|n) のカテゴリカル 𝒪 のホモロジー的構造を、射影次元、関連付ける多様体、複雑度を分析することで理解すること。
• 特異性や非典型性といったグローバルホモロジー的不変量が、カテゴリカル 𝒪 の非同値ブロックを分類するために十分かどうかを特定すること。
• 有限射影次元を持つモジュールを特徴付け、これと関連付ける多様体およびヴェルマモジュールの構造と関連付けること。
• 非典型性をカテゴリカルに捉えるホモロジー的不変量としての複雑度を定義し、その性質を研究すること。
• 同じグローバルホモロジー的特性（例えば、同じファイニスティック次元と複雑度）を持つブロックであっても、それらが非同値である可能性を示し、超代数のカテゴリカル 𝒪 におけるブロック分類に関する未解決問題を解決すること。

提案手法

• 偶数のボレル部分群の作用の下で、自己可換な奇数次元要素の軌道を分類し、モジュールの関連付ける多様体を分析する。
• カジダン＝ルシュティグ理論とヴェルマモジュールの構造を用いて、𝔤𝔩(1|n)、𝔤𝔩(m|1)、𝔤𝔩(2|2) に対して関連付ける多様体を明示的に計算する。
• この条件が、モジュール上で非自明に作用する非自明な自己可換な奇数次元要素が存在しないことと同値であることを利用し、関連付ける多様体が自明であるモジュールが有限射影次元を持つと特徴付ける。
• 複雑度を最小射影分解の多項式成長率として定義し、カテゴリカル 𝒪 全体のモジュールに対してそれが有限であることを示す。
• インジェクティブモジュールの射影次元を計算し、ファイニスティックグローバルホモロジー次元を導出し、中心的特徴のコアの特異性と関連付ける。
• 𝔤𝔠(m|n) の KL 型理論を用いて Ext^1-クワイアと長さ関数を分析し、同じグローバル不変量を持つブロックでもカテゴリカルに異なることがあることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カテゴリカル 𝒪 における 𝔤𝔠(m|n) のモジュールの射影次元はホモロジー的に特徴付け可能であり、特異性や支配性を検出できるか？
• RQ2 関連付ける多様体と複雑度は、ブロックにおける非典型性と特異性を検出するカテゴリカル不変量として、どの程度有効か？
• RQ3 カテゴリカル 𝒪 における 𝔤𝔠(m|n) の整数的ブロックは、特異性と非典型性というグローバルホモロジー的不変量によって分類可能か？
• RQ4 同じグローバルホモロジー的性質（例えば、同じファイニスティック次元と複雑度）を持つ2つのブロックが、それでも非同値である可能性はあるか？
• RQ5 カテゴリカル 𝒪 におけるヴェルマモジュールおよび単純モジュールの複雑度は、それらの非典型度とどのように関係するか？

主な発見

• カテゴリカル 𝒪 における 𝔤𝔠(m|n) のモジュールは、関連付ける多様体が自明であることと、有限射影次元であることとが同値である。
• カテゴリカル 𝒪 における 𝔤𝔠(m|n) のブロックのファイニスティックグローバルホモロジー次元は、中心的特徴のコアの特異性によって決定される。
• 𝔤𝔠(2|1) の主ブロックにおいて、Ext^1-クワイアはディンキン型 A_∞ である。これは左図の矢印を双方向矢印に置き換え、(10|1) と (0-1|-1) の間に1本の矢印を追加することで得られる。
• 任意の基本的古典的リー超代数におけるカテゴリカル 𝒪 のモジュールの複雑度は有限であり、特に 𝔤𝔠(m|n) のヴェルマモジュールおよび単純モジュールでは、それが非典型度と直接関係している。
• カテゴリカル 𝒪 における 𝔤𝔠(m|n) の整数的ブロックは、同じグローバルホモロジー的不変量（特異性と非典型性）を持つ場合でも、非同値であることがある。これは、このような不変量が分類に十分でないことを示している。
• 本稿では、𝔤𝔠(3|1) に対して無限個の非同値ブロックを明示的に構成し、超代数のカテゴリカル 𝒪 におけるブロック分類が、リー代数の場合よりもはるかに複雑であることを示した。