[論文レビュー] Quiver Schur algebras and q-Fock space

Catharina Stroppel, Ben Webster|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 83被引用数 76

ひとこと要約

本稿では、クーヴィー表現から生じる幾何的畳み込み代数として、段階的クーヴィー・シュール代数を導入し、巡回的 $q$-シュール代数のカテゴリフィケーション枠組みを提供する。この代数は、$χ$-セルラーベースと$χ$-分類された$χ$-作用を介して、高レベルの$q$-フォック空間の正規基底と、巡回的$q$-シュール代数における$q$-アナローグの分解数の間の明確な対応関係を確立する。主な結果として、この同一視のもとで、非分解的射影的モジュールが正規基底に対応し、ウェイルモジュールが標準基底に対応することが同定される。

ABSTRACT

We develop a graded version of the theory of cyclotomic q-Schur algebras, in the spirit of the work of Brundan-Kleshchev on Hecke algebras and of Ariki on q-Schur algebras. As an application, we identify the coefficients of the canonical basis on a higher level Fock space with q-analogues of the decomposition numbers of cyclotomic q-Schur algebras. We present cyclotomic q-Schur algebras as a quotient of a convolution algebra arising in the geometry of quivers; hence we call these quiver Schur algebras. These algebras are also presented diagrammatically, similar in flavor to a recent construction of Khovanov and Lauda. They are also manifestly graded and so equip the cyclotomic q-Schur algebra with a non-obvious grading. On the way we construct a graded cellular basis of this algebra, resembling the constructions for cyclotomic Hecke algebras by Mathas, Hu, Brundan and the first author. The quiver Schur algebra is also interesting from the perspective of higher representation theory. The sum of Grothendieck groups of certain cyclotomic quotients is known to agree with a higher level Fock space. We show that our graded version defines a higher q-Fock space (defined as a tensor product of level 1 q-deformed Fock spaces). Under this identification, the indecomposable projective modules are identified with the canonical basis and the Weyl modules with the standard basis. This allows us to prove the already described relation between decomposition numbers and canonical bases.

研究の動機と目的

• 幾何的および図式的手法を用いて、巡回的$q$-シュール代数の段階的バージョンを構成すること。
• 高レベルの$q$-フォック空間の正規基底と、巡回的$q$-シュール代数における$q$-アナローグの分解数との間の明確な対応関係を確立すること。
• クーヴィー・シュール代数のグロテンディーク群を通じて、$q$-フォック空間上の$χ$-分類された$χ$-作用のカテゴリフィケーション的実現を提供すること。
• 代数内の非分解的射影的モジュールが正規基底に対応し、ウェイルモジュールが標準基底に対応することを示すこと。

提案手法

• クーヴィー表現のスタインベルク多様体上の畳み込み代数の商としてクーヴィー・シュール代数を構成する。
• クラスカル＝ローダ＝ルーキー代数にインspiredされた図式的手法を用いて代数を定義し、明示的な段階的構造を保証する。
• 巡回的$q$-シュール代数に段階的セルラーベースを導入し、巡回的ヘッケ代数における構成と類似させる。
• デマール作用素と多重組成の組合せ論を用いて、$q$-フォック空間への作用を定義する。
• クーヴィー・シュール代数の特定の巡回的商のグロテンディーク群を、レベル1の$q$-フォック空間のテンソル積として表される高レベルの$q$-変形フォック空間と同一視する。
• $q$-フォック空間の正規基底が、代数内の非分解的射影的モジュールの類に対応することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的および図式的手法を用いて、巡回的$q$-シュール代数の段階的バージョンを構成できるか？
• RQ2 巡回的$q$-シュール代数における$q$-アナローグの分解数は、高レベルの$q$-フォック空間の正規基底とどのように関係するか？
• RQ3 クーヴィー・シュール代数のグロテンディーク群を通じて、$q$-フォック空間上に$χ$-分類された$χ$-作用がカテゴリフィケーション的に実現可能か？
• RQ4 クーヴィー・シュール代数内の非分解的射影的モジュールは、$q$-フォック空間内の正規基底ベクトルに対応するか？
• RQ5 $q$-フォック空間の標準基底は、巡回的$q$-シュール代数におけるウェイルモジュールの類として実現可能か？

主な発見

• クーヴィー・シュール代数は、クーヴィー表現のスタインベルク多様体上の畳み込み代数の商として構成され、巡回的$q$-シュール代数の幾何的実現を提供する。
• 代数は段階的セルラーベースを備え、明示的に構成され、その段階的構造を保つため、分解数のカテゴリフィケーション的解析が可能になる。
• クーヴィー・シュール代数の特定の巡回的商のグロテンディーク群は、レベル1の$q$-フォック空間のテンソル積として表される高レベルの$q$-変形フォック空間と同型である。
• 代数内の非分解的射影的モジュールは、グロテンディーク群の同一視のもとで、$q$-フォック空間内の正規基底ベクトルに正確に対応する。
• ウェイルモジュールは、$q$-フォック空間内の標準基底ベクトルに対応し、単純モジュールの類は非分解的射影的モジュールの類の双対である。
• 巡回的$q$-シュール代数の$q$-アナローグの分解数は、定理7.21および推論7.23により、$q$-フォック空間における標準基底から正規基底への移行行列として与えられる。