[論文レビュー] On certain duality of Néron-Severi lattices of supersingular K3 surfaces

Shigeyuki Kondō, Ichiro Shimada|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Artin不変量の和が11に等しい正の特性における超特異K3表面のネロン＝セバレー格子の間に双対性を確立する。この双対性を用いて、特性2および3におけるArtin不変量10の超特異K3表面の種1ファイブレーションを分類し、ネフ錐の自己同型群を同定する。その結果、表面の自己同型群とは周期に起因する差異を示す。本研究では、奇数特性におけるArtin不変量>1の一般超特異K3表面の存在を証明する。

ABSTRACT

Let X and Y be supersingular K3 surfaces defined over an algebraically closed field. Suppose that the sum of their Artin invariants is 11. Then there exists a certain duality between their Néron-Severi lattices. We investigate geometric consequences of this duality. As an application, we classify genus one fibrations on supersingular K3 surfaces with Artin invariant 10 in characteristic 2 and 3, and give a set of generators of the automorphism group of the nef cone of these supersingular K3 surfaces. The difference between the automorphism group of a supersingular K3 surface X and the automorphism group of its nef cone is determined by the period of X. We define the notion of genericity for supersingular K3 surfaces in terms of the period, and prove the existence of generic supersingular K3 surfaces in odd characteristics for each Artin invariant larger than 1.

研究の動機と目的

• Artin不変量の和が11に等しい超特異K3表面のネロン＝セバレー格子の間に成立する双対性の幾何的帰結を調査すること。
• 特性2および3におけるArtin不変量10の超特異K3表面の種1ファイブレーションを分類すること。
• そのような表面のネフ錐の自己同型群の生成元の集合を特定すること。
• 奇数特性におけるArtin不変量>1の一般超特異K3表面の定義と、その存在の証明を行うこと。

提案手法

• Artin不変量が$ \rho $である超特異K3表面のネロン＝セバレー格子$ S_{p,\rho} $と、$ p $倍スケールされた双対格子$ S_{p,\rho'}^{\bullet}(p) $の間に、$ \rho + \rho' = 11 $のとき双対性を確立する。
• この双対性を用いて、$ X_{p,\rho} $および$ X_{p,\rho'} $上のファイブレーションの格子同値類の間の自然な全単射を構成する。
• この双対性をジャコビアンファイブレーションの解析に応用し、$ X_{p,\rho} $上のファイブレーションがジャコビアンであれば、$ X_{p,\rho'} $上の双対ファイブレーションは非ジャコビアンであることを示す。
• ネロン＝セバレー格子の同一直線部分空間へのガロア群の作用を用いて、ネフ錐の自己同型群がスカラー倍の生成によってなることを示す。
• 周期を用いて超特異K3表面の一般性を定義し、奇数特性におけるArtin不変量>1の一般超特異K3表面の存在を証明する。
• 直線部分空間のモジュライ空間の構造を用いて、ガロア群がネロン＝セバレー格子に与える作用を解析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Artin不変量の和が11に等しい超特異K3表面のネロン＝セバレー格子の双対性から生じる幾何的帰結は何か？
• RQ2 この双対性を用いて、特性2および3におけるArtin不変量10の超特異K3表面の種1ファイブレーションをどのように分類できるか？
• RQ3 Artin不変量10の超特異K3表面のネフ錐の自己同型群の構造はどのようなものか？
• RQ4 表面の自己同型群とネフ錐の自己同型群との差異は何か？その差異において周期が果たす役割は？
• RQ5 奇数特性におけるArtin不変量>1の一般超特異K3表面は存在するか？もしあるならば、どのように特徴づけられるか？

主な発見

• Artin不変量$ \rho $および$ \rho' $が$ \rho + \rho' = 11 $を満たすとき、$ X_{p,\rho} $および$ X_{p,\rho'} $上のファイブレーションの格子同値類の間には自然な全単射が存在する。
• Artin不変量1の超特異K3表面の任意の種1ファイブレーションはジャコビアンであるが、その双対ファイブレーションはArtin不変量10の表面では非ジャコビアンである。
• Artin不変量10の超特異K3表面のネフ錐の自己同型群は、表面自体の自己同型群よりも厳密に小さい。その差は表面の周期によって決定される。
• このようにして得られたネフ錐の自己同型群の生成元の集合は、双対性および直線部分空間へのガロア作用を用いて明示的に構成された。
• 各Artin不変量$ \sigma > 1 $に対して、奇数特性における一般超特異K3表面が存在する。これは周期および直線部分空間のガロア不変性を用いて定義される。
• ガロア群$ G_{\bar{\rho}} $はネロン＝セバレー格子にスカラー倍として作用する。これはすべての直線ベクトルが固有ベクトルであり、作用がスカラー的であることを意味し、分類において中心的な役割を果たす。