[論文レビュー] On certain extension properties for the space of compact operators

Timur Oikhberg, Haskell P. Rosenthal|ArXiv.org|May 4, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 31被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、可分ヒルベルト空間上のコンパクト作用素の空間を表す $\mathbf{K}$ の拡張性質を調査し、完全可分拡張性質（CSEP）、混合可分拡張性質（MSEP）、完全可分補完性質（CSCP）に注目する。$\mathbf{K}_0$ に関する先行結果を用いて $\mathbf{K}$ が CSCP を満たすことを証明し、$\mathbf{K}_0$（そしてしたがって $\mathbf{K}$）が CSEP を満たさないことを新たな証明で示している。また、$\mathbf{K}$ が MSEP を満たすことは $\mathbf{K}_0$ が MSEP を満たすことに同値であり、この未解決問題を解明するために「拡張可能な局所的自己双対性（ELR）」という新概念を導入している。

ABSTRACT

Let $Z$ be a fixed separable operator space, $X\subset Y$ general separable operator spaces, and $T:X o Z$ a completely bounded map. $Z$ is said to have the Complete Separable Extension Property (CSEP) if every such map admits a completely bounded extension to $Y$; the Mixed Separable Extension Property (MSEP) if every such $T$ admits a bounded extension to $Y$. Finally, $Z$ is said to have the Complete Separable Complementation Property (CSCP) if $Z$ is locally reflexive and $T$ admits a completely bounded extension to $Y$ provided $Y$ is locally reflexive and $T$ is a complete surjective isomorphism. Let ${\bf K}$ denote the space of compact operators on separable Hilbert space and ${\bf K}_0$ the $c_0$ sum of ${\Cal M}_n$'s (the space of ``small compact operators''). It is proved that ${\bf K}$ has the CSCP, using the second author's previous result that ${\bf K}_0$ has this property. A new proof is given for the result (due to E. Kirchberg) that ${\bf K}_0$ (and hence ${\bf K}$) fails the CSEP. It remains an open question if ${\bf K}$ has the MSEP; it is proved this is equivalent to whether ${\bf K}_0$ has this property. A new Banach space concept, Extendable Local Reflexivity (ELR), is introduced to study this problem. Further complements and open problems are discussed.

研究の動機と目的

• 可分ヒルベルト空間上のコンパクト作用素の空間 $\mathbf{K}$ における完全可分拡張性質（CSEP）を調査すること。
• 混合可分拡張性質（MSEP）を検討し、$\mathbf{K}$ と $\mathbf{K}_0$ の間での同値性を特定すること。
• $\mathbf{K}_0$ に関する結果を用いて、$\mathbf{K}$ が完全可分補完性質（CSCP）を満たすことを確立すること。
• 拡張可能な局所的自己双対性（ELR）という新概念を導入し、それを応用して拡張問題を分析すること。
• 拡張性質に関する未解決問題を解決し、$\mathbf{K}$ と $\mathbf{K}_0$ の関係を明確にすること。

提案手法

• $\mathbf{K}_0$ が CSCP を満たすという第二著者の先行結果を用いて、$\mathbf{K}$ が CSCP を満たすことを証明する。
• 作用素空間理論と完全有界写像を用いて、部分空間から $\mathbf{K}$ や $\mathbf{K}_0$ への写像の拡張挙動を分析する。
• $\mathbf{K}$ や $\mathbf{K}_0$ の MSEP を研究するための新ツールとして、拡張可能な局所的自己双対性（ELR）の概念を導入する。
• 双対性と局所的自己双対性の技法を用いて、有界または完全有界な拡張が存在する条件を検討する。
• Kirchberg の元々の結果に基づく新たな証明を用いて、$\mathbf{K}_0$ が CSEP を満たさないことを示す。
• $\mathcal{M}_n$ の $c_0$-和としての $\mathbf{K}_0$ の構造を分析し、拡張性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可分ヒルベルト空間上のコンパクト作用素の空間 $\mathbf{K}$ は完全可分拡張性質（CSEP）を満たすか？
• RQ2 $\mathbf{K}$ の混合可分拡張性質（MSEP）は、$\mathbf{K}_0$ のそれと同値か？
• RQ3 $\mathbf{K}$ は完全可分補完性質（CSCP）を満たすか？
• RQ4 拡張可能な局所的自己双対性（ELR）という新概念を用いて、$\mathbf{K}$ の MSEP を解明できるか？
• RQ5 $\mathbf{K}$ と $\mathbf{K}_0$ の拡張性質の関係、特に有界および完全有界な拡張に関してはいかなるものか？

主な発見

• $\mathbf{K}$ は可分ヒルベルト空間上のコンパクト作用素の空間として、完全可分補完性質（CSCP）を満たす。
• $\mathbf{K}_0$ は行列代数 $\mathcal{M}_n$ の $c_0$-和として定義され、CSCP を満たしており、この事実を用いて $\mathbf{K}$ が CSCP を満たすことを証明した。
• $\mathbf{K}_0$（そしてしたがって $\mathbf{K}$）は完全可分拡張性質（CSEP）を満たさない。Kirchberg の元々の結果に基づく新たな証明によりこれを示した。
• $\mathbf{K}$ が MSEP を満たすことは、$\mathbf{K}_0$ が MSEP を満たすことに同値であり、この性質についての両者の同値性を確立した。
• 本稿では、拡張可能な局所的自己双対性（ELR）という新概念を導入し、MSEP や関連する拡張問題の分析に新たな枠組みを提供した。
• 未解決の問題としての $\mathbf{K}$ の MSEP の有無は、$\mathbf{K}_0$ についての同様の問題に還元され、ELR 性質がその分析の主要な道具となった。