[論文レビュー] On certain semigroups of partial contractions of a finite chain

Abdullahi Umar, M. M. Zubairu|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2018

semigroups and automata theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限鎖 $[n]$ 上の部分的収縮の半群の代数的構造を調査し、正則性および豊富性の性質に焦点を当てる。$\mathcal{CP}_n$、$\mathcal{ORCP}_n$、$\mathcal{OCP}_n$ がすべての $n$ に対して左豊富であるが、$n \geq 4$ の場合に右豊富でないことを証明し、$\mathcal{ORCP}_n$ の強正則元の集合が正則部分半群をなすことを同定し、先行研究が残した非正則性に関する構造的問題を解決する。

ABSTRACT

Let $[n]=\{1,2,\ldots,n\}$ be a finite chain and let $\mathcal{P}_{n}$ be the semigroup of partial transformations on $[n]$. Let $\mathcal{CP}_{n}=\{α\in \mathcal{P}_{n}: (for ~all~x,y\in Dom~α)~|xα-yα|\leq|x-y|\}$ be the subsemigroup of partial contraction mappings on $[n]$. We have shown that the semigroup $\mathcal{CP}_{n}$ and some of its subsemigroups are nonregular left abundant semigroups for all $n$ but not right abundant for $n\geq 4$.

研究の動機と目的

• 有限鎖 $[n]$ 上の部分的収縮の半群 $\mathcal{CP}_n$、$\mathcal{ORCP}_n$、$\mathcal{OCP}_n$ の豊富性特性（左/右）を特定すること。
• $\mathcal{ORCP}_n$ の強正則元の集合を特徴づけ、それが部分半群をなすかどうかを調査すること。
• 先行研究による $\mathcal{CP}_n$ および $\mathcal{ORCP}_n$ の非正則性に関する結果を拡張し、豊富な半群の広いクラスの中でそれらの位置づけを明らかにすること。
• 部分的収縮の文脈において、凸トランバーサル、適切なトランバーサル、および正則性の関係を明確にすること。

提案手法

• $\mathcal{CP}_n$、$\mathcal{ORCP}_n$、$\mathcal{OCP}_n$ におけるグリーンの関係 $\mathcal{D}^*$ と $\mathcal{J}^*$ の特徴づけを行い、$\mathcal{D}^* = \mathcal{J}^*$ を示す。
• 核 $\text{Ker}~{}\alpha$ と像 $\text{Im}~{}\alpha$ を用いた部分変換の分割に基づく表現を用いて構造を分析する。
• 核 $\text{Ker}~{}\alpha$ の凸トランバーサルおよび適切なトランバーサルの定義と分析を行い、正則性の条件を特定する。
• ハルの補題1を応用し、等幂元の積の正則性と、等幂元によって生成される部分半群の正則性を関連付ける。
• 重なり合うサポートおよび像区間に関する場合分けを用いて、$\mathcal{ORCP}_n$ の強正則元の集合が乗法に関して閉じていることを証明する。
• 凸トランバーサルを持つ等幂元の表現 $\alpha = \left(\begin{array}{ccc}A_1 & \cdots & A_p \\ x+1 & \cdots & x+p \end{array}\right)$ を用いて構造的制約を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathcal{CP}_n$、$\mathcal{ORCP}_n$、$\mathcal{OCP}_n$ はすべての $n$ に対して左豊富であるか？
• RQ2 これらの半群が右豊富となる $n$ はどれか？また、$n \geq 4$ の場合に右豊富でなくなる理由は何か？
• RQ3 $\mathcal{ORCP}_n$ の強正則元の集合は部分半群をなすか？
• RQ4 凸トランバーサルは、部分的収縮の強正則性を特徴づける上で果たす役割は何か？
• RQ5 これらの半群において、グリーンの関係 $\mathcal{D}^*$ と $\mathcal{J}^*$ はどのように関係しているか？

主な発見

• $\mathcal{CP}_n$、$\mathcal{ORCP}_n$、$\mathcal{OCP}_n$ はすべての $n$ に対して左豊富であるが、$n \geq 4$ の場合に右豊富でない。
• $\mathcal{ORCP}_n$ の強正則元の集合（凸トランバーサルを持つものとして定義）は、正則部分半群をなす。
• 画像区間の重なりに関する場合分けを用いた証明により、$SReg(\mathcal{ORCP}_n)$ 内の二つの等幂元の積が強正則であることが示された。
• $n \leq 3$ の場合、$\mathcal{CP}_n$、$\mathcal{ORCP}_n$、$\mathcal{OCP}_n$ は右豊富であるが、$n \geq 4$ の場合にその性質は成立しない。
• $\mathcal{CP}_n$、$\mathcal{ORCP}_n$、$\mathcal{OCP}_n$ において $\mathcal{D}^* = \mathcal{J}^*$ が成り立つことが確認され、グリーンの関係における構造的同値性が裏付けられた。
• $SReg(\mathcal{ORCP}_n)$ 内の等幂元は、$\max A_1 = a$ および $\min A_p = a+p$ を満たす形 $\left(\begin{array}{ccccc}A_1 & a+2 & \cdots & a+p-1 & A_p \\ a+1 & a+2 & \cdots & a+p-1 & a+p \end{array}\right)$ をとらなければならない。