[論文レビュー] On closedness under convolution roots related to an infinitely divisible distribution in the distribution class L(γ)

Hui Xu, Yuebao Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2015

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、無限に可分な分布のクラス $γ$ における分布クラスの畳み込み根に関する閉包性を調査する。$π(γ)\setminusΣΡ$ および $(π(γ)∩ΣΡ)\setminusΣ(γ)$ が畳み込み根に関して閉じていないことを、明示的な反例を構成することで証明し、EmbrechtsとGoldieによる長年の予想を、これらのクラスに関して否定的に解決する。

ABSTRACT

We consider questions related to the well-known conjecture due to Embrechts and Goldie on the closedness of different classes of heavy- and light-tailed distributions with respect to convolution roots. We show that the class L(γ)\cap OS is not closed under convolution roots related to an infinitely divisible distribution for any γ\ge0, i.e. we provide examples of infinitely divisible distributions belonging to this class such that the corresponding Levy spectral distribution does not. We also prove a similar statement for the class (L(γ)\cap OS)\ S(γ). In order to facilitate our analysis, we explore the structural properties of some of the classes of distributions, and study some properties of the well-known transformation from a heavy-tailed distribution to a light-tailed one.

研究の動機と目的

• 無限に可分な分布の分布クラスの畳み込み根に関する閉包性に関するEmbrechtsとGoldieの予想を解決すること。
• 任意の $\gamma \geq 0$ に対して、クラス $\mathcal{L}(\gamma)\setminus\mathcal{OS}$ が畳み込み根に関して閉じているかどうかを特定すること。
• クラス $(\mathcal{L}(\gamma)\cap\mathcal{OS})\setminus\mathcal{S}(\gamma)$ が畳み込み根に関して閉じているかどうかを検討すること。
• 無限に可分な分布 $\mathcal{L}(\gamma)\setminus\mathcal{OS}$ に属する分布のLévyスペクトル測度が同じクラスに属さないことを示す明示的な反例を構成すること。

提案手法

• 条件 (4.6) を破るが (4.7) を満たすように、$x_i$ と $y_i$ の間のギャップを増加させる区分的生存関数を用いて重尾分布 $F_0$ を構成する。
• 区分的定数密度および生存関数を持つ分布 $F_1$ を定義し、$F_1 \in \mathcal{L}$ かつ条件 (4.7) を満たすが、条件 (4.6) を満たさないことを保証する。
• 変換 $\overline{F_0}(x) = \overline{F_1}(x)\mathbf{1}(x < x_1) + \sum_{i=1}^\infty \left( \overline{F_1}(x_i)\mathbf{1}(x_i \leq x < y_i) + \overline{F_1}(x)\mathbf{1}(y_i \leq x < x_{i+1}) \right)$ を用いて $F_0$ を定義し、$\overline{F_0}(y_n - 1)/\overline{F_0}(y_n) \to a > 1$ となるようにし、$F_0 \notin \mathcal{L}$ を保証する。
• $F_0$ が条件 (4.7) を満たすが (4.6) を満たさないことを検証し、これらの2つの条件が論理的に独立していることを示す。
• $f_1(x) = o(\overline{F_1}(x))$ であるため、$F_0$ が条件 (4.6) を満たさないことを証明するが、$F_1$ は (4.7) を満たし $F_1 \in \mathcal{L}$ である。
• $\mathcal{L}_{\text{loc}}$, $\mathcal{S}_{\text{loc}}$, $\mathcal{OS}_{\text{loc}}$, $\mathcal{OL}_{\text{loc}}$ の局所的分布クラスを用いて、予想の局所的バージョンへの分析を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $\gamma \geq 0$ に対して、クラス $\mathcal{L}(\gamma)\setminus\mathcal{OS}$ は畳み込み根に関して閉じているか？
• RQ2 クラス $(\mathcal{L}(\gamma)\cap\mathcal{OS})\setminus\mathcal{S}(\gamma)$ は畳み込み根に関して閉じたままであるか？
• RQ3 クラス $\mathcal{L}(\gamma)\setminus\mathcal{OS}$ に属する分布が、同じクラスに属さないLévyスペクトル測度を持つことができるか？
• RQ4 分布 $\mathcal{L}(\gamma)$ に対して、条件 (4.6) と (4.7) は論理的に独立か？
• RQ5 局所的バージョンのEmbrechts-Goldie予想は、クラス $(\mathcal{L}_{\text{loc}}\cap\mathcal{OS}_{\text{loc}})\setminus\mathcal{S}_{\text{loc}}$ に対して成り立つか？

主な発見

• 任意の $\gamma \geq 0$ に対して、クラス $\mathcal{L}(\gamma)\setminus\mathcal{OS}$ は畳み込み根に関して閉じていない。これは、このクラスに属する無限に可分な分布のLévyスペクトル測度が同様にそのクラスに属さないことを示す反例によって証明された。
• クラス $(\mathcal{L}(\gamma)\cap\mathcal{OS})\setminus\mathcal{S}(\gamma)$ に対しても畳み込み根に関して閉じていない。反例が提示された。
• 条件 (4.6) と (4.7) は論理的に独立である：明示的な $F_0$ および $F_1$ の構成により、片方が満たされてももう片方が満たされない分布が存在することが示された。
• 構成された分布 $F_0$ は $\lim_{n\to\infty} \overline{F_0}(y_n - 1)/\overline{F_0}(y_n) = a > 1$ を満たし、$F_0 \notin \mathcal{L}$ を示すが、同時に条件 (4.7) を満たす。
• 局所的クラス $(\mathcal{L}_{\text{loc}}\cap\mathcal{OS}_{\text{loc}})\setminus\mathcal{S}_{\text{loc}}$ は畳み込み根に関して閉じていない。これは、予想の局所的バージョンに対しても否定的な結果が得られたことを確認する。
• これらの結果により、指定された分布クラスに関して、Embrechts-Goldie予想は、グローバルおよび局所的両設定において完全に否定的な答えが得られた。