[論文レビュー] On closures in semitopological inverse semigroups with continuous inversion

Олег Гутік|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2014

Advanced Topology and Set Theory参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、連続的逆元をもつ半位相的逆半群における部分群、半ラティス、および半群拡張の閉包を調査する。本稿では、このクラスにおいて、位相群がH-閉包であることは、それがコンパクトであることと同値であり、ハウスドルフ線形順序付き半ラティスがH-閉包であることは、その位相的半ラティスクラスにおけるH-閉包であることと同値である。また、基本半群がH-閉包であるときかつそのときに限り、位相的ブランドトλ⁰拡張が（絶対的）H-閉包であることが示されている。さらに、絶対的H-閉包ではないがH-閉包である半位相的半ラティスの例も構成されている。

ABSTRACT

We study the closures of subgroups, semilattices and different kinds of semigroup extensions in semitopological inverse semigroups with continuous inversion. In particularly we show that a topological group $G$ is $H$-closed in the class of semitopological inverse semigroups with continuous inversion if and only if $G$ is compact, a Hausdorff linearly ordered topological semilattice $E$ is $H$-closed in the class of semitopological semilattices if and only if $E$ is $H$-closed in the class of topological semilattices, and a topological Brandt $λ^0$-extension of $S$ is (absolutely) $H$-closed in the class of semitopological inverse semigroups with continuous inversion if and only if so is $S$. Also, we construct an example of an $H$-closed non-absolutely $H$-closed semitopological semilattice in the class of semitopological semilattices.

研究の動機と目的

• 連続的逆元をもつ半位相的逆半群におけるH-閉包部分群、半ラティス、および半群拡張を特徴づけること。
• このクラスにおいて、位相群がH-閉包であるための必要十分条件を特定すること。
• ブランドトλ⁰-拡張におけるH-閉包と絶対的H-閉包の関係を調査すること。
• H-閉包であるが絶対的H-閉包でない半位相的半ラティスの反例を構成すること。

提案手法

• 本稿は、半位相的逆半群における閉包を分析するために、位相的および半群論的技法を用いる。
• 部分構造、たとえば部分群や半ラティスに対して、H-閉包および絶対的H-閉包の概念を適用する。
• 反例の構成には、新しい元を半群に拡張し、演算の分離連続性を保証するために余ファイニット位相を定義する。
• 証明は背理法を用い、稠密な真部分半群が存在すると仮定し、H-閉包仮定に反するハウスドルフ半位相的半群を構成する。
• 既知の結果[18]、特にブランドト半群における擬コンパクト位相の存在に関する結果を用いて、一意なハウスドルフ擬コンパクト位相の存在を確立する。
• 半群の部分集合における要素の分布に基づいて場合分けを行い、位相的矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的逆元をもつ半位相的逆半群のクラスにおいて、位相群がH-閉包であるのはいつか？
• RQ2 ハウスドルフ線形順序付き位相的半ラティスが、半位相的半ラティスクラスにおいてH-閉包であるのはいつか？
• RQ3 連続的逆元をもつ半位相的逆半群のクラスにおいて、位相的ブランドトλ⁰拡張がH-閉包（または絶対的H-閉包）であるのはいつか？
• RQ4 H-閉包である半位相的半ラティスが、絶対的H-閉包でないことはあり得るか？
• RQ5 半位相的逆半群におけるH-閉包を保証する、位相的および代数的条件は何か？

主な発見

• 連続的逆元をもつ半位相的逆半群のクラスにおいて、位相群がH-閉包であることは、それがコンパクトであることと同値である。
• ハウスドルフ線形順序付き位相的半ラティスが、半位相的半ラティスクラスにおいてH-閉包であることは、その位相的半ラティスクラスにおけるH-閉包であることと同値である。
• 連続的逆元をもつ半位相的逆半群のクラスにおいて、位相的ブランドトλ⁰拡張が（絶対的）H-閉包であることは、基本半群がH-閉包であることと同値である。
• 半位相的半ラティスクラスにおいて、H-閉包であるが絶対的H-閉包でない半ラティスの例が構成された。
• 稠密な真部分半群が存在すると仮定した場合、位相的および代数的構成により矛盾が生じることを証明し、閉包性質が確認された。