[論文レビュー] On H-closed paratopological groups

Alex Ravsky|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2010

Advanced Topology and Set Theory参考文献 1被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、アーベルの準位相群および位相群におけるH-閉性の基準を確立し、追加の構造的条件のもとで、アーベル位相群がH-閉であるための必要十分条件として、Rajkov完備であることと、ある $ n \in \mathbb{N} $ に対して $ nG $ がprecompactであることであることを示している。また、H-閉なアーベル群はコンパクト部分群の和集合であることを証明し、可除なH-閉なアーベル群はコンパクトであることを示しており、位相群における完備性およびprecompact性に関する既知の結果を拡張している。

ABSTRACT

A Hausdorff paratopological group G is H-closed if G is closed in each Hausdorff paratopological group containing G. We obtain criteria of H-closedness for some classes of abelian paratopological groups. In particular, for topological groups.

研究の動機と目的

• 完備性およびprecompact性の条件を用いて、H-閉なアーベルの準位相群および位相群を特徴づけること。
• 特に部分群および閉包の性質に注目して、H-閉なアーベル群の構造を調査すること。
• H-閉性が、ある $ n $ に対して $ nG $ のprecompact性を含む十分条件を確立し、追加の位相的制約のもとで予想を検証すること。

提案手法

• Pontrjaginの条件を用いて、近傍基を介して準位相群の位相を定義する。
• 上位相 $ \mathcal{L} \vee \mathcal{R} $ を用いてRajkov完備性を適用し、$ \hat{G} $ を $ G $ を在りつける唯一の完備群として定義する。
• 超フィルター収束およびコーシー・フィルター技法を用いて、位相群における閉包および完備性を分析する。
• 非H-閉性を埋め込みによる議論で示すために、$ G \times \mathbb{Z} $ に位相を構成する。
• Baireのカテゴリ定理を $ \hat{G} $ に適用し、集合 $ G(n,k) = \{ x \in \hat{G} : nx \in L_k \} $ の内部が空でないことを示し、$ mnG $ のprecompact性を導く。
• 閉包および $ \hat{G} $ 内の部分群構造を用いて、$ \overline{H}^{\hat{\sigma}} \cap G = H $ を示し、部分群のH-閉性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル位相群がいつH-閉であり、その性質を特徴づける条件は何か？
• RQ2 H-閉なアーベル群において、部分群 $ nG $ がいつprecompactか？
• RQ3 すべてのH-閉なアーベル群は、コンパクト部分群の和集合であるか？
• RQ4 追加の構造的仮定のもとで、H-閉性がRajkov完備性および $ nG $ のprecompact性と同値であるという予想は成り立つか？
• RQ5 Rajkov完備化および商構造の性質によって、群のH-閉性を決定できるか？

主な発見

• ある $ \sigma $-コンパクト部分群 $ L $ が存在し、$ G/L $ が周期的であり、$ (G, \tau') $ の完備化がBaire空間である場合、アーベル位相群がH-閉であるための必要十分条件は、Rajkov完備であることと、ある $ n \in \mathbb{N} $ に対して $ nG $ がprecompactであることである。
• すべてのH-閉なアーベル位相群は、コンパクト部分群の和集合であり、すべての元はコンパクト部分群に属する。
• 可除なアーベルH-閉位相群は、必然的にコンパクトである。
• 任意のH-閉なアーベル位相群において、$ K = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \overline{nG} $ はコンパクトである。
• 任意の0の近傍 $ U $ に対して、ある $ n \in \mathbb{N} $ が存在し、$ \overline{nG} \subset KU $ が成り立つ。これは、$ K $ が閉包構造において0のコンパクト近傍であることを示している。
• H-閉なアーベル群の閉部分群は、再びH-閉であり、閉包の性質が保存される。