[論文レビュー] On Cobweb Posets and Discrete F-Boxes Tilings

Maciej Dziemiańczuk|ArXiv.org|Feb 24, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、自然数の無限次元空間 N^∞ 内の離散的ハイパーボックス（F-boxes）を導入し、その辺の長さを数列 F で定義することで、コブウェブposetのハッセ図を幾何的にモデル化する。F-タイリング（σV_m 形の部分ボックスへの分割）の存在を、適切なF数列に対して証明し、タイリング問題を特別に構築されたグラフにおけるクリーク問題に再定式化する。さらに、タイリングの数がこのグラフにおける最大クリークの数に等しいことを確立し、二項係数、フィボネッチ係数、ガウス係数への応用を示す。

ABSTRACT

F-boxes defined in [6] as hyper-boxes in N^{\infty} discrete space were applied here for the geometric description of the cobweb posetes Hasse diagrams tilings. The F-boxes edges sizes are taken to be values of terms of natural numbers' valued sequence F. The problem of partitions of hyper-boxes represented by graphs into blocks of special form is considered and these are to be called F-tilings. The proof of such tilings' existence for certain sub-family of admissible sequences F is delivered. The family of F-tilings which we consider here includes among others F = Natural numbers, Fibonacci numbers, Gaussian integers with their corresponding F-nomial (Binomial, Fibonomial, Gaussian) coefficients. Extension of this tiling problem onto the general case multi F-nomial coefficients is here proposed. Reformulation of the present cobweb tiling problem into a clique problem of a graph specially invented for that purpose - is proposed here too. To this end we illustrate the area of our reconnaissance by means of the Venn type map of various cobweb sequences families.

研究の動機と目的

• コブウェブposetのハッセ図を、N^∞ 内の離散的Fボックスを用いて幾何的に解釈すること。
• FボックスをσV_m 形の部分ボックスに分割することによって、コブウェブタイリング問題を解くこと。
• F-admissible数列の部分族に対して、そのようなFタイリングの存在を証明すること。
• コブウェブブロックの最大パス集合から導かれるグラフにおいて、タイリング問題をクリーク問題に再定式化すること。
• 標準的なF二項係数を超えて、多F-多項係数へのタイリング枠組みの一般化を図ること。

提案手法

• m次元のFボックス V_{m,n} を、k = n−m+1 として、[k_F] × [(k+1)_F] × … × [n_F] の積として定義する。
• F二項係数が自然数となるような数列をF-admissibleと定義し、適切なタイリング分割を保証する。
• F二項係数 {{n} {m}}_F を用いて、V_{m,n} のκ分割におけるσV_m 形部分ボックスの数を数える。
• 頂点がσP_m 形のブロックであるグラフ G(⟨Φ_k→Φ_n⟩) を構築し、最大パス集合が互いに素であるブロック同士に辺を張る。
• コブウェブタイリングが、G(⟨Φ_k→Φ_n⟩) におけるサイズ d = m_F! のクリークにちょうど一致することを証明する。ここで d = {{n} {m}}_F である。
• Venn図型のマップを用いて、コブウェブ数列の族（適切な、GCD同型的、タイリング特化型など）を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのF数列に対して、m次元Fボックス V_{m,n} のFタイリングが存在するか？
• RQ2 F二項係数を用いて、Fタイリングの数を組合せ論的にどのように特徴づけられるか？
• RQ3 コブウェブタイリング問題は、コブウェブブロックの最大パス集合から導かれるグラフにおけるクリーク問題に再定式化可能か？
• RQ4 構築されたグラフにおける最大クリークの数とFタイリングの数の関係は何か？
• RQ5 多F-多項係数は、標準的なF二項係数を超えて、タイリング枠組みをどのように一般化するか？

主な発見

• m次元Fボックス V_{m,n} のFタイリングが存在するための必要十分条件は、数列FがF-admissibleであること、すなわちすべてのF二項係数 {{n} {m}}_F が自然数であることである。
• 層 ⟨Φ_k→Φ_n⟩ のFタイリングの数は、グラフ G(⟨Φ_k→Φ_n⟩) における最大クリークの数に等しく、クリークのサイズは d = m_F! である。
• V_{m,n} のκ分割におけるσV_m 形部分ボックスの数は、ちょうど {{n} {m}}_F に等しく、F-admissible数列ではこれが自然数である。
• タイリング問題は、頂点がブロックσP_m であり、辺が最大パス集合が互いに素であることを示すグラフ G(⟨Φ_k→Φ_n⟩) におけるサイズ d = m_F! のクリークを見つける問題に等しい。
• Fタイリングの族には、二項係数（自然数）、フィボネッチ係数（フィボナッチ数列）、ガウス係数（ガウス整数）といった有名なケースが含まれており、これらはすべてFタイリング枠組みで統一される。
• 図15のVenn図型マップにより、コブウェブ数列が適切な、GCD同型的、タイリング特化型の族に分類されるが、タイリング数列の完全な境界については未解決の問題が残っている。