[論文レビュー] On cobweb posets most relevant codings

A. K. Kwaśniewski, Maciej Dziemiańczuk|ArXiv.org|Apr 10, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 26被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、F-コブウェブposetから導出される混合基数、非標準的位数記数法（F-base number systems）を導入し、KoDAG（二項関係の鎖を表す有向無閉路グラフ）の最も関連性の高い符号化手法として提示する。これらのシステムにより、無限のハイパーボックスとF-二項係数を通じてKoDAGの視覚的・組合的解釈が可能となり、ウムブラ記法と組合的レイヤー化を用いた、任意の二項関係の鎖の分析のための新規な枠組みが提供される。

ABSTRACT

One considers here orderable acyclic digraphs named KoDAGs which represent the outmost general chains of dibicliques denoting thus the outmost general chains of binary relations. Because of this fact KoDAGs start to become an outstanding concept of nowadays investigation. We propose here examples of codings of KoDAGs looked upon as infinite hyper-boxes as well as chains of rectangular hyper-boxes in N^\infty. Neither of KoDAGs codings considered here is a poset isomorphism with Pi = . Nevertheless every example of coding supplies a new view on possible investigation of KoDAGs properties. The codes proposed here down are by now recognized as most relevant codes for practical purposes including visualization. More than that. Employing quite arbitrary sequences F=\{n_F\}_{n\geq 0} infinitely many new representations of natural numbers called base of F number system representations are introduced. These constitute mixed radix-type numeral systems. F base nonstandard positional numeral systems in which the numerical base varies from position to position have picturesque interpretation due to KoDAGs graphs and their correspondent posets which in turn are endowed on their own with combinatorial interpretation of uniquely assigned to KoDAGs F-nomial coefficients. The base of F number systems are used for KoDAGs coding and are interpreted as chain coordinatization in KoDAGs pictures as well as systems of infinite number of boxes sequences of F-varying containers capacity of subsequent boxes. Needless to say how crucial is this base of F number system for KoDAGs hence consequently for arbitrary chains of binary relations. New F based numeral systems are umbral base of F number systems in a sense to be explained in what follows.

研究の動機と目的

• 任意の自然数列Fに基づく、非標準的位数記数法の新クラス「F-base記数法」を構築すること。
• F-base記数法と無限のハイパーボックスを用いて、KoDAG（二項関係の鎖を表す有向無閉路グラフ）の組合的かつ視覚的な符号化枠組みを提供すること。
• コブウェブposetの文脈において、F-base記数表現とF-二項係数の間の対応関係を確立すること。
• 同型写像を要件としないが、構造的・組合的洞察を保持する符号化手法を導入することで、poset同型写像の概念を一般化すること。
• 変動する基数を持つ記数法に基づく座標系を用いて、KoDAGおよび二項関係の鎖の実用的可視化と分析を可能にすること。

提案手法

• F列によってインデックス付けられたレベルΦ_sを持つ階層的poset Π = ⟨P, ≤⟩としてコブウェブposetを定義し、|Φ_s| = F_s とする。
• KoDAGをコブウェブposetのハッセ図として表現し、各層⟨Φ_k → Φ_n⟩が完全二部有向グラフK_{F_k, F_{k+1}}の有向無閉路グラフ（DAG）に対応することを示す。
• 各桁位置での基数がF_kに変化する混合基数系としてF-base記数法を導入し、自然数の一意的表現を可能にする。
• F-base表現とKoDAG層内の最大鎖の間の全単射を確立し、F-二項係数をその基数として用いる。
• F-baseシステムをN^∞における座標系として解釈し、Fによって定義される容量を持つ無限のボックスの系列としてモデル化する。
• ウムブラ記法を用いてF-二項係数を組合的に解釈し、KoDAGの構造およびその部分posetとの関連を明確にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の二項関係の鎖を、KoDAGとF-base記数法を用いて体系的に符号化・可視化する方法は何か？
• RQ2 KoDAG層内の最大鎖の文脈において、F-二項係数が持つ組合的意味は何か？
• RQ3 F-base記数法は、従来のposet同型写像と比較して、なぜKoDAGの符号化フレームワークとしてより適切であるのか？
• RQ4 任意のF列からどのように変動基数記数法を構築できるか。また、無限のハイパーボックスの観点から、その構造的解釈は何か？
• RQ5 F-コブウェブ適応列が、F-二項係数が定義された自然数であることを保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• F-base記数法は、任意のF列から導出される混合基数、非標準的位数記数法として導入され、各桁位置での基数が変化する。
• F-二項係数 ${{n}inom{k}}_{F} = \frac{n^{ar{k}}_F}{k_F!}$ は、コブウェブposetの層⟨Φ_k → Φ_n⟩内に存在する、互いに素で等濃度の最大鎖の数を数える。
• F-baseシステムはKoDAGの座標系として機能し、F列によって定義される容量を持つ$N^\flat$におけるハイパーボックスの系列として可視化される。
• KoDAGはposet Π = ⟨P, ≤⟩と同型ではないが、提案された符号化手法により、その組合的および構造的性質に関する深い洞察が得られる。
• F-baseシステムにより、F-二項係数とウムブラ記法を用いた、二項関係の鎖の図式的・計算的解釈が可能になる。
• 任意のF-コブウェブ適応列（F_0 = 1 かつ F_n ∈ ℕ）に対して、F-二項係数は定義された自然数となり、全体の符号化フレームワークの基盤を形成する。