[論文レビュー] On cofinite subgroups of mapping class groups

Mustafa Korkmaz|ArXiv.org|Jul 9, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、 genus 2 以下の曲面の写像類群の cofinite 部分群を構成し、任意のランク n の自由群への全射が存在することを示している。これにより、それらの第一コhomology のランクが少なくとも n であり、第二有界コhomology が連続体濃度の次元を持つことが示された。さらに、genus 2 の場合、このような部分群が Torelli 群を含まないように選べることを示し、4個の穴あき球面またはトーラスの写像類群の有限指数部分群における自己同型で、全体の群へは拡張できないものが構成された。

ABSTRACT

For any positive integer $n$, we exhibit a cofinite subgroup $Γ_n$ of the mapping class group of a surface of genus at most two such that $Γ_n$ admits an epimorphism onto a free group of rank $n$. We conclude that $H^1(Γ_n;\Z)$ has rank at least $n$ and the dimension of the second bounded cohomology of each of these mapping class groups is the cardinality of the continuum. In the case of genus two, the groups $Γ_n$ can be chosen not to contain the Torelli group. Similarly for hyperelliptic mapping class groups. We also exhibit an automorphism of a subgroup of finite index in the mapping class group of a sphere with four punctures (or a torus) such that it is not the restriction of an endomorphism of the whole group.

研究の動機と目的

• 写像類群の cofinite 部分群を、任意に大きな第一コhomology ランクを持つように構成すること。
• これらの写像類群の第二有界コhomology が連続体濃度に等しい次元を持つことの証明。
• genus 2 の場合、このような部分群が Torelli 群を含まないように選べることの示唆。
• 4個の穴あき球面またはトーラスの写像類群の有限指数部分群における自己同型で、全体の群へは拡張できないものを構成すること。

提案手法

• Dehn ツイストと弧構造を用いて、genus ≤2 の曲面の写像類群における有限指数部分群 Γₙ を明示的に構成する。
• n 個の穴あき球面の純粋写像類群を用いて、短完全系列を通じて自由群の商を得る。
• 持ち上げの議論を適用し、全体の群へは拡張できない自己同型を部分群上で定義する。
• ホモロジー代数を用いて H¹(Γₙ; ℤ) と有界コhomology の次元を分析する。
• ハイパーオアセプティック対称性とその中心化群の構造を活用し、genus 2 における部分群を定義する。
• ホモロジーにおける背理法を用いて、純粋写像類群上の自己同型が全体の写像類群へは拡張できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 genus 2 の曲面の写像類群の有限指数部分群は、任意に大きな第一コhomology ランクを持つことができるか？
• RQ2 Torelli 群を含まないようなこのような部分群を構成することは可能か？
• RQ3 低 genus の曲面の写像類群の第二有界コhomology の次元は何か？
• RQ4 4個の穴あき球面またはトーラスの写像類群の有限指数部分群における自己同型が、全体の群へは拡張できないことは可能か？

主な発見

• 任意の正の整数 n に対して、genus 2 以下の曲面の写像類群の有限指数部分群 Γₙ が存在し、ランク n の自由群へ全射が存在する。
• 第一コhomology H¹(Γₙ; ℤ) のランクは少なくとも n であるため、コhomological ランクを任意に大きくできることが示された。
• 写像類群の第二有界コhomology の次元は連続体濃度に等しい。
• genus 2 の場合、構成された部分群 Γₙ は Torelli 群を含まないように選べる。
• 4個の穴あき球面またはトーラスの写像類群において、ある有限指数部分群に、全体の群の任意の自己準同型へも拡張できない自己同型が存在する。
• ランク ≥2 の自由群における自己同型の非拡張性に依存した構成であり、写像類群の部分群を構築するための構築ブロックとして用いられている。