[論文レビュー] On corners scattering stably, nearly non-scattering interrogating waves, and stable shape determination by a single far-field pattern

Emilia Blåsten, Hongyu Liu|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2016

Numerical methods in inverse problems参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、1つの遠方パターンを用いた逆音響散乱において、鋭い定量的安定性評価を確立し、R²またはR³における多角形不均一媒質の支持の安定回復を証明する。さらに、コーナー散乱は常に散乱エネルギーに正の下界を生じることを示し、コーナーを含む等方的材料による近似的な透明化クローキングが不可能であることを示している。

ABSTRACT

In this paper, we establish two sharp quantitative results for the direct and inverse time-harmonic acoustic wave scattering. The first one is concerned with the recovery of the support of an inhomogeneous medium, independent of its contents, by a single far-field measurement. For this challenging inverse scattering problem, we establish a sharp stability estimate of logarithmic type when the medium support is a polyhedral domain in $\mathbb{R}^n$, $n=2,3$. The second one is concerned with the stability for corner scattering. More precisely if an inhomogeneous scatterer, whose support has a corner, is probed by an incident plane-wave, we show that the energy of the scattered far-field possesses a positive lower bound depending only on the geometry of the corner and bounds on the refractive index of the medium there. This implies the impossibility of approximate invisibility cloaking by a device containing a corner and made of isotropic material. Our results sharply quantify the qualitative corner scattering results in the literature, and the corresponding proofs involve much more subtle analysis and technical arguments. As a significant byproduct of this study, we establish a quantitative Rellich's theorem that continues smallness of the wave field from the far-field up to the interior of the inhomogeneity. The result is of significant mathematical interest for its own sake and is surprisingly not yet known in the literature.

研究の動機と目的

• 1つの遠方パターンから不均一媒質の支持を回復するための鋭い対数的安定性評価を確立すること。
• 平面波による照射を受けたコーナーを有する散乱体の散乱遠方エネルギーに正の下界を定量化すること。
• コーナーを含む等方的材料を用いた近似的な透明化クローキングが不可能であることを示すこと。
• 遠方領域における小ささを不均一媒質の内部へと拡張する定量的リリッヒの定理の開発。
• 逆散乱および直接散乱問題におけるコーナー散乱の不安定性の数学的・厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• 多角形支持を有する不均一媒質におけるヘルムホルツ方程式の高度な解析を用いる。
• 複素幾何学的および関数解析的技法を適用し、対数型の境界のもとで鋭い安定性評価を導出する。
• 遠方領域から散乱体内部への小ささの伝播を示す定量的リリッヒ型定理を用いる。
• 積分表現および漸近展開を用いてコーナー付近の散乱波の振る舞いを分析する。
• 散乱遠方エネルギーの下界を、コーナーの幾何学的性質および屈折率の境界にのみ依存する形で導出する。
• 微局所解析と一意的拡張原理を組み合わせ、コーナーにおける近似ゼロ散乱の不可能性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多角形不均一媒質の支持は、1つの遠方測定から安定して回復可能か？
• RQ2 平面波によって照射されたコーナーを有する散乱体の散乱遠方エネルギーに、定量的な下界は存在するか？
• RQ3 コーナーを含む等方的材料を用いた近似的な透明化クローキングは可能か？
• RQ4 遠方領域における波動場の小ささを、不均一媒質の内部へ定量的に拡張できるか？
• RQ5 コーナーのような幾何学的特異点は、散乱波の安定性および強度にどのように影響を与えるか？

主な発見

• R²またはR³において、1つの遠方パターンから多角形不均一媒質の支持を回復するための鋭い対数的安定性評価が確立された。
• 平面波による照射を受けたコーナーを有する散乱体の散乱遠方エネルギーは、コーナーの幾何学的性質および屈折率の境界にのみ依存する正の定数によって下から抑えられる。
• 散乱エネルギーに正の下界が存在するため、コーナーを含む等方的材料による近似的な透明化クローキングは不可能である。
• 遠方領域における波動場の小ささが不均一媒質内部の小ささを示す、新しい定量的リリッヒ型定理が証明された。
• 本研究は、文献において初めて、定性的なコーナー散乱現象の鋭い定量的バージョンを提供した。
• 解析により、コーナーは本質的に強い散乱を生成し、最小限のデータでも検出可能であることが明らかになった。