[論文レビュー] On critical and supercritical pseudo-relativistic nonlinear Schrödinger equations

Woocheol Choi, Younghun Hong+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ H^{1/2} $-臨界および超臨界非線形性を有する擬相対論的非線形シュレーディンガー方程式に対する非自明解の存在および非存在基準を確立する。非相対論的極限（$ c \to \infty $）における摂動的アプローチと拡張問題におけるポホジャエフ型恒等式を用いて、$ \frac{n+1}{n-1} \leq p < \frac{n+2}{n-2} $ および $ mc^2 \geq \kappa_0 \mu $ のとき非自明解が存在することを証明する一方、超相対論的領域ではあるいは非線形性が $ H^1 $-臨界／超臨界である場合には、有界な非自明解は存在しないことを示す。

ABSTRACT

In this paper, we investigate existence and non-existence of a nontrivial solution to the pseudo-relativistic nonlinear Schrödinger equation $$\left( \sqrt{-c^2Δ+ m^2 c^4}-mc^2 ight) u + μu = |u|^{p-1}u\quad extrm{in}~\mathbb{R}^n~(n \geq 2)$$ involving an $H^{1/2}$-critical/supercritical power-type nonlinearity, i.e., $p \geq \frac{n+1}{n-1}$. We prove that in the non-relativistic regime, there exists a nontrivial solution provided that the nonlinearity is $H^{1/2}$-critical/supercritical but it is $H^1$-subcritical. On the other hand, we also show that there is no nontrivial bounded solution either $(i)$ if the nonlinearity is $H^{1/2}$-critical/supercritical in the ultra-relativistic regime or $(ii)$ if the nonlinearity is $H^1$-critical/supercritical in all cases.

研究の動機と目的

• 擬相対論的非線形シュレーディンガー方程式に対して、$ H^{1/2} $-臨界および超臨界非線形性を有する非自明解の存在および非存在に関する未解決問題を解明すること。
• 相対論的領域（非相対論的対比して超相対論的）と非線形性の強さ（$ p $）が解の存在に与える影響を特定すること。
• 標準的手法が失敗する $ H^{1/2} $-準臨界領域を超えて変分法を拡張すること。
• 擬相対論的NLSとその非相対論的および超相対論的極限との間の厳密な関係を確立すること。

提案手法

• 非相対論的極限（$ c \to \infty $）における摂動的アプローチを用いて、非相対論的基底状態 $ u_\infty $ の近傍に解を構成する。
• 拡張問題を用いて、擬相対論的作用素に対するポホジャエフ型恒等式を導出し、非存在証明を可能にする。
• $ u_\infty $ の小さな近傍において収縮写像を用いて、一意性および収束速度を証明する。
• 収束速度 $ \|u_c - u_\infty\|_{H^1 \cap W^{1,q}} = O(1/c) $（$ 1 < p \leq 2 $）および $ O(1/c^2) $（$ p > 2 $）を、$ c \to \infty $ のときの収束速度として確立する。
• 非自明な $ H^1 \cap L^\infty $ 解のうちで作用汎関数 $ I_c $ を最小化する解として弱基底状態を定義する。
• $ q > n $ のとき $ H^1 \cap L^\infty $ と $ H^1 \cap W^{1,q} $ のノルムの同倣性を用いて、強い位相における収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形性が $ H^{1/2} $-臨界または超臨界である場合、擬相対論的NLSに対して非自明解が存在するか？
• RQ2 解の存在は、相対論的領域（非相対論的 $ c \gg 1 $ 対比して超相対論的 $ m \ll 1 $）にどのように依存するか？
• RQ3 非相対論的基底状態は、$ c \to \infty $ のとき、擬相対論的方程式の解によって近似可能か？
• RQ4 非相対論的領域で構成された解は、回転対称関数のうちで一意的か？
• RQ5 $ H^{1/2} $-超臨界の場合でも、解は弱い意味での基底状態として解釈可能か？

主な発見

• $ \frac{n+1}{n-1} \leq p < \frac{n+2}{n-2} $ のとき、$ mc^2 \geq \kappa_0 \mu $ ならば、非自明解 $ u_c \in H^1_r \cap L^\infty $ が存在する。ここで $ \kappa_0 \geq 1 $ は大きな定数である。
• $ p \geq \frac{n+1}{n-1} $ かつ $ mc^2 \leq \mu $、または $ p \geq \frac{n+2}{n-2} $ のとき、いかなる $ m, c, \mu $ に対しても、非自明な有界解は存在しない。
• 解 $ u_c $ は $ c \to \infty $ のとき非相対論的基底状態 $ u_\infty $ に収束し、収束速度は $ \|u_c - u_\infty\|_{H^1 \cap W^{1,q}} = O(1/c) $（$ 1 < p \leq 2 $）および $ O(1/c^2) $（$ p > 2 $）である。
• $ u_\infty $ の小さな近傍において、$ H^1_r \cap L^\infty $ の回転対称関数のうちで解 $ u_c $ は収縮写像により一意的であることが証明された。
• $ 1 < p < \frac{n+1}{n-1} $ のとき、解 $ u_c $ は一意な正の径対称基底状態と一致し、$ H^{1/2} $-準臨界領域における一意性の別証明が得られる。
• 著者らは、$ \frac{n+1}{n-1} < p < \frac{n+2}{n-2} $ の $ H^{1/2} $-超臨界領域において構成された解 $ u_c $ が弱基底状態であると予想しており、これはすべての非自明な $ H^1 \cap L^\infty $ 解のうちで作用汎関数 $ I_c $ を最小化する。