[論文レビュー] Optimal convergence rate of nonrelativistic limit for the nonlinear pseudo-relativistic equations

Woocheol Choi, Younghun Hong+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、光速度 $c \to \infty$ のとき、非線形擬相対論的方程式の基底状態が非相対論的対応物へ収束する最適収束速度 $1/c^2$ を確立する。スペクトル解析とローレンツ空間推定を用いて、収束が鋭く、任意のソボレフノルムにおいて一様に成立することを証明し、相対論的ソリトンの漸近的挙動に関する長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with the nonrelativistic limit of the following pseudo-relativistic equation with Hartree nonlinearity or power type nonlinearity \[ \left(\sqrt{-\hbar^2c^2 Δ+m^2c^4} - mc^2 ight) u + μu = \mathcal{N}(u), \] where $c$ denotes the speed of light. We prove that the ground states of this equation converges to the ground state of its nonrelativistic counterpart \[ -\frac{\hbar^2}{2m}Δu + μu = \mathcal{N}(u) \] with an explicit convergence rate $1/c^2$ in arbitrary order as $c o \infty$. Moreover, we show that this rate is optimal.

研究の動機と目的

• 光速度 $c \to \infty$ のとき、非線形擬相対論的方程式の基底状態が非相対論的対応物へ収束する最適レートを確立すること。
• 非相対論的極限における収束速度が、べき乗型およびハートリー型の非線形性の両方に対して鋭いかどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• 任意のソボレフノルムにおいて一様な収束推定を提供し、さまざまな正則性クラスにわたる頑健性を保証すること。
• 形式的漸近展開の範囲を越えて、関数解析および調和解析の道具を用いて、非相対論的近似における誤差を厳密に定量すること。

提案手法

• 物理定数を除去するための擬相対論的方程式の正規化により、$c \to \infty$ のパラメータフリーな極限問題に還元すること。
• 相対論的運動エネルギーを記述するシンボル $P_c(\xi) = \sqrt{c^2|\xi|^2 + c^4/4} - c^2/2 + 1$ を持つ擬微分作用素 $P_c(D)$ の定義。
• 非線形項の正則性と有界性を制御するため、ローレンツ空間の補間理論とマルチンキエヴィチ補間を適用すること。
• 方程式内の非線形相互作用を推定するため、ローレンツ空間における分数階のライブニッツ則の応用。
• スペクトル分解と基底状態の変分的特徴づけを用いて、相対論的および非相対論的エネルギー汎関数の最小化子を比較すること。
• エネルギー比較と摂動論的議論を用いて、相対論的および非相対論的基底状態の差に一様なバインディングを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 光速度 $c \to \infty$ のとき、擬相対論的非線形シュレーディンガー方程式の基底状態が非相対論的状態へ収束する最適レートは何か？
• RQ2 $1/c^2$ の収束速度は鋭いか、それより速くできるのか？
• RQ3 収束は任意の順序のソボレフノルムにおいて一様に成立するか？もしそうなら、その定量的評価はどのように行われるか？
• RQ4 べき乗型およびハートリー型の非線形性は、収束速度と基底状態の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 関数解析および調和解析の道具を用いて、異なる正則性クラスにわたる一様な収束を確立できるか？

主な発見

• 光速度 $c \to \infty$ のとき、擬相対論的方程式の基底状態は、非相対論的方程式の基底状態へ最適レート $1/c^2$ で収束する。
• この収束速度は鋭く、より速いレートには改善できないことが、より速いレートに対する反例の構成によって示された。
• すべての $s \geq 1/2$ に対して $H^s(\mathbb{R}^n)$ において一様に収束し、誤差は $C/c^2 \|u_\infty\|_{H^s}$ で有界である。
• この結果は、$2 < p < 2n/(n-1)$ のべき乗型非線形性 $\mathcal{N}(u) = |u|^{p-2}u$ および $n=3$ のハートリー型非線形性 $\mathcal{N}(u) = (|x|^{-1} * |u|^2)u$ に適用可能である。
• 証明は、相対論的シンボルの精密な漸近展開と、ローレンツ空間推定による差作用素の正確な制御に依拠している。
• 変分法と補間理論を用いて、相対論的および非相対論的基底状態の差に一様なバインディングを確立し、$1/c^2$ レートの最適性を確認した。