[論文レビュー] On cubics and quartics through a canonical curve

Christian Pauly|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ランク2のベクトルバンドルとKempfのコhomological障害理論を用いて、 canonical 曲線を通過する四次および三次超曲面の族を構成する。これらの超曲面—特に四次超曲面 $F_W$ および三次極 $P_x(F_W)$—がその基底集合として canonical 曲線を切り出すことを証明し、高次方程式を用いた新しい構成的Torelli型結果を提供する。

ABSTRACT

We construct families of quartic and cubic hypersurfaces through a canonical curve, which are parametrized by an open subset in a Grassmannian and a Flag variety respectively. Using G. Kempf's cohomological obstruction theory, we show that these families cut out the canonical curve and that the quartics are birational (via a blowing-up of a linear subspace) to quadric bundles over the projective plane, whose Steinerian curve equals the canonical curve.

研究の動機と目的

• canonical 曲線の理想子に属する四次および三次超曲面の明示的族をランク2のベクトルバンドルを用いて構成すること。
• ヤコビアンにおける $2\theta$-除集合の原点における多重度 $\geq 4$ の接錐の幾何を理解すること。
• これらの超曲面が基底集合として canonical 曲線を切り出すことを証明し、Torelliの定理に対する新しい構成的アプローチを提供すること。
• canonical 埋め込みの文脈において、包絡錐と高次接錐の間の類似性を拡張すること。

提案手法

• 3次元部分空間 $W \subset H^0(C, \omega)$ から、評価写像の核の双対を用いてランク2のベクトルバンドル $E_W$ を構成する。
• Kempfのコhomological障害理論を用いて、ヤコビアン $JC$ の原点における $\theta$-除集合 $D(E_W)$ の射影的接錐 $F_W$ に属する点を特徴づけ、$|\omega|^*$ 内の四次超曲面を導出する。
• 点 $x \in W^\perp$ に関する立方極 $P_x(F_W)$ を定義することで、canonical 曲線を含む三次超曲面を得る。
• 頂点 $\mathbb{P}W^\perp \subset F_W$ を blowing up して、$\mathbb{P}^2$ 上の二次式バンドルに $F_W$ を変形し、そのSteiner曲線が canonical 曲線であることを示す。
• $\mathrm{Gr}(3, H^0(\omega))$ からの有理写像と $\mathrm{Fl}(3,g-1,H^0(\omega))$ からの有理写像を用い、それぞれ $F_W$ および $P_x(F_W)$ をパラメトライズする。
• 障害理論の基準（命題4.1）を適用し、線型系統 $|F_4|$ および $|F_3|$ の基底集合が canonical 曲線 $C$ と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク2のベクトルバンドルに付随する四次接錐 $F_W$ は、その基底集合として曲線を切り出すか？
• RQ2 これらの四次超曲面の三次極 $P_x(F_W)$ も canonical 曲線を切り出すことができるか？
• RQ3 四次接錐 $F_W$ と $\theta$-除集合の古典的三次包絡錐 $S_L$ の間に幾何的類似性があるか？
• RQ4 一般の種数 $g$ の曲線について、線型系統 $|F_3|$ および $|F_4|$ の次元は何か？
• RQ5 この構成はPrym-canonical空間や高次シンプレクティックバンドルへ一般化可能か？

主な発見

• 四次超曲面 $F_W$ で張られる線型系統 $|F_4|$ の基底集合は、正確に canonical 曲線 $C \subset |\omega|^*$ に一致する。これは、van Geemenとvan der Geerの予想を裏付ける。
• 三次極 $P_x(F_W)$ で張られる線型系統 $|F_3|$ の基底集合も、正確に canonical 曲線 $C \subset |\omega|^*$ に一致する。これにより、高次方程式を用いたTorelli型結果が確立される。
• 頂点 $\mathbb{P}W^\perp$ を blowing up した結果、四次超曲面 $F_W$ は $\mathbb{P}^2$ 上の二次式バンドルに変形され、そのSteiner曲線は canonical 曲線となる。
• 一般の $g$ に対して、$|F_4|$ の次元は既知である：$g = 4,5,6,7$ のときそれぞれ $\dim|F_4| = 4, 15, 40, 88$ であり、$|F_4| \neq |I(4)|$ である。
• この構成はPrym-canonical空間およびシンプレクティックバンドルへ一般化可能である：一般の3次元部分空間 $Z \subset H^0(C, \omega\alpha)$ に対して、$|\omega\alpha|^*$ 内の四次超曲面 $F_Z$ が、$2\Xi$-除集合の接錐として得られ、Prym-canonical曲線を含む。
• 写像 $\Phi: \Lambda^2 W^* \to H^0(C, \omega)$ を用いて定義されるシンプレクティックバンドル $E_\Phi$ に対して、原点における接錐は、$|\omega|^*$ 内の次数 $2n+2$ の超曲面 $F_\Phi \in |I(2n+2)|$ を与える。