[論文レビュー] On cyclically-interval edge colorings of trees

Rafael R. Kamalian|arXiv (Cornell University)|May 1, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の木が循環的区間辺彩色をもつことを確立し、任意の木 $H$ に対して、可能な彩色の集合 $\mathfrak{M}_t$ が、$t$ が区間 $[\Delta(H), M(H)]$ に属する場合にのみ空でないことを証明している。ここで $\Delta(H)$ は最大次数、$M(H)$ は $H$ の最長パスに含まれる辺の数である。主な結果は $W_{\text{cyc}}(H) = M(H)$ であり、木に対する有効な彩色の範囲を完全に特徴づけている。

ABSTRACT

For an undirected, simple, finite, connected graph $G$, we denote by $V(G)$ and $E(G)$ the sets of its vertices and edges, respectively. A function $φ:E(G) ightarrow\{1,2,\ldots,t\}$ is called a proper edge $t$-coloring of a graph $G$ if adjacent edges are colored differently and each of $t$ colors is used. An arbitrary nonempty subset of consecutive integers is called an interval. If $φ$ is a proper edge $t$-coloring of a graph $G$ and $x\in V(G)$, then $S_G(x,φ)$ denotes the set of colors of edges of $G$ which are incident with $x$. A proper edge $t$-coloring $φ$ of a graph $G$ is called a cyclically-interval $t$-coloring if for any $x\in V(G)$ at least one of the following two conditions holds: a) $S_G(x,φ)$ is an interval, b) $\{1,2,\ldots,t\}\setminus S_G(x,φ)$ is an interval. For any $t\in \mathbb{N}$, let $\mathfrak{M}_t$ be the set of graphs for which there exists a cyclically-interval $t$-coloring, and let $$\mathfrak{M}\equiv\bigcup_{t\geq1}\mathfrak{M}_t.$$ For an arbitrary tree $G$, it is proved that $G\in\mathfrak{M}$ and all possible values of $t$ are found for which $G\in\mathfrak{M}_t.$

研究の動機と目的

• 与えられた木 $G$ が循環的区間辺 $t$-彩色をもつような整数 $t$ の集合を特定すること。
• そのような彩色が存在するような色数の最小値 $w_{\text{cyc}}(G)$ および最大値 $W_{\text{cyc}}(G)$ を特徴づけること。
• すべての木が循環的区間彩色可能である、すなわち $G \in \mathfrak{M}$ が成り立つことの証明と、可能な $t$ 値の集合 $\Theta(G)$ を完全に記述すること。

提案手法

• 各頂点において、その接続辺の色の集合またはその補集合が $[1,t]$ 内の区間をなすような、適切な辺彩色を循環的区間辺彩色と定義すること。
• $\theta(G)$, $w_{\text{cyc}}(G)$, $W_{\text{cyc}}(G)$ を導入し、それぞれ可能な $t$ 値の集合およびその端点を表すこと。
• 最長パスや頂点間距離関数を含む木の構造的解析を用いて、必要な色数の上限を導出すること。
• 帰納法およびパスに基づく議論を用いて、$W_{\text{cyc}}(H) = M(H)$ を示すこと。ここで $M(H)$ は $H$ の最長パスに含まれる辺の数である。
• $[1,t]$ 内の区間および循環的区間の性質を活用し、頂点における色集合が循環的区間条件を満たすことを証明すること。
• 任意の木 $H$ に対して、$\mathfrak{M}_t$ が空でないことが、$t \in [\Delta(H), M(H)]$ であることを、背理法およびパスの延長による議論を用いて証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた木 $G$ が循環的区間辺 $t$-彩色をもつのは、どのような $t$ 値のときか？
• RQ2 木 $G$ におけるそのような彩色に必要な色数の最小値 $w_{\text{cyc}}(G)$ は何か？
• RQ3 木 $G$ における循環的区間辺彩色が存在する色数の最大値 $W_{\text{cyc}}(G)$ は何か？
• RQ4 すべての木が循環的区間彩色可能であるか、すなわちすべての木 $G$ に対して $G \in \mathfrak{M}$ が成り立つか？
• RQ5 特に最長パスに注目したとき、木の構造は循環的区間彩色の存在性およびその境界にどのように関係するか？

主な発見

• 任意の木 $H$ は循環的区間彩色可能である。すなわち $H \in \mathfrak{M}$ であり、ある $t \geq 1$ に対してそのような彩色が存在する。
• 木 $H$ の循環的区間辺彩色に必要な色数の最小値は、その最大次数に等しい：$w_{\text{cyc}}(H) = \Delta(H)$。
• 循環的区間辺彩色が存在する色数の最大値は、$H$ の最長パスに含まれる辺の数に等しい。すなわち $W_{\text{cyc}}(H) = M(H)$。
• $H \in \mathfrak{M}_t$ となる可能な $t$ 値の集合は、正確に区間 $[\Delta(H), M(H)]$ に一致する。すなわち $\Theta(H) = [\Delta(H), M(H)]$。
• 任意の木 $H$ の循環的区間 $t$-彩色に対して、$t \leq |TP(x', x'')|$ を満たす二つの頂点 $x'$ および $x''$ が存在する。ここで $TP(x', x'')$ はそれらの間のパスに含まれる辺の集合を表す。
• $W_{\text{cyc}}(H)$-彩色の存在は、ある頂点のペアに対して $W_{\text{cyc}}(H) \leq |TP(x', x'')|$ が成り立つことを示し、この境界はタイトである。これにより $W_{\text{cyc}}(H) = M(H)$ が確認される。