[論文レビュー] On deformation of extremal metrics

Xiuxiong Chen, Mihai Păun+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、ケーラー潜在関数の空間における連続的経路を用いて、極値および一定スカラー曲率ケーラー（cscK）度量の変形定理を確立する。cscK度量を有するケーラー類が与えられたとき、ねじれcscK経路に沿って近傍の度量が存在し、それらが正則自己同型によって関連する度量に収束することを証明し、自己同型による極値度量の一意性について新たな証明を与える。

ABSTRACT

We generalize the bifurcation technique of Bando-Mabuchi in the context of extremal metrics.

研究の動機と目的

• ケーラー類に極値度量またはcscK度量が存在する場合、それらの変形結果を確立すること。
• オービンとヤウの連続的法を、ねじれcscK経路を介して極値度量の設定に拡張すること。
• 正則自己同型による極値度量の一意性を再証明すること。
• ねじれKエネルギーの挙動と、ケーラー潜在関数空間内の測地線に沿ったその凸性を分析すること。

提案手法

• t ∈ (1−ε, 1] でパラメトリック化されたケーラー潜在関数空間内の連続的経路を用い、度量を極値度量またはcscK度量へ変形する。
• t ∈ (0,1) に対して、∇^{1,0}(R_φ − (1−t)tr_φω) が正則であるという条件で定義されるねじれ極値度量を導入する。
• スカラー曲率方程式の線形化にLichnerowicz作用素 D_φ を適用し、線形化作用素の核および像を研究する。
• K-不変関数空間と C^{k,α} 内の直交分解を用いて、対称性と正則性を扱う。
• C^{1,1} 測地線に沿った修正Kエネルギー E_K の弱凸性とJ汎関数の厳密凸性を用いて一意性を確立する。
• 任意の2つのケーラー潜在関数を結ぶC^{1,1} 測地線の存在は、先行研究で確立されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたケーラー類内のcscK度量を、潜在関数の連続的経路に沿ってねじれcscK度量に変形できるか。
• RQ2 正則測地線に沿ったエネルギー汎関数の凸性から、極値度量の一意性（自己同型による同値類）が導かれるか。
• RQ3 与えられた極値度量の近傍におけるねじれ極値度量の空間は、ケーラー潜在関数空間内で開集合か。
• RQ4 正則ベクトル場が存在する状況下で、K-不変測地線に沿った修正Kエネルギーの振る舞いはいかなるものか。
• RQ5 ねじれパrameter (1−t) を導入することで、連続的法を極値度量に適応可能か。

主な発見

• 任意のコンパクトケーラー多様体について、そのケーラー類にcscK度量が存在するとき、任意の t ∈ (1−ε,1] に対して、H^∞(M) 内の滑らかな度量の経路 φ_t が存在し、各 φ_t が方程式 R_φ − ūR − (1−t)(tr_φω − n) = 0 を満たす。
• 極限度量 φ_1 は正則自己同型 f を用いて元のcscK度量とユニタリ同値である。すなわち、ω_φ_1 = f^*ω_φ_0 が成り立つ。
• 各 t ∈ (0,1) に対して、K-不変なねじれ極値度量方程式の解の空間は一意的であり、K-不変C^{1,1} 測地線に沿った汎関数 E_K + (1−t)ι の厳密凸性による。
• 凸性技法と連続的経路を用いて、極値度量の一意性（正則自己同型による同値類）を再証明し、長年の予想を裏付ける。
• 解における極値度量方程式の線形化は、K-不変関数空間の適切な直交分解を有し、これにより陰関数定理の適用が可能となる。