[論文レビュー] On the existence of constant scalar curvature Kähler metric: a new perspective

Xiuxiong Chen|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 43被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、定曲率ケーラー（cscK）計量の存在問題を解くために、ケーラー計量の空間における新しい連続的経路を導入する。これはケーラー・アインシュタインの場合を一般化したものである。主な貢献は、$ t \in (0,1) $ における解集合の開性の証明であり、また、標準的ケーラー・エネルギーが完全に強制的でない場合でも、$ t \in (0,1) $ におけるねじれケーラー・エネルギー関数の測地線距離における強制的性を示している。

ABSTRACT

In this paper, we report a "new" continuity path which links the constant scalar curvature equation to a second order elliptic equation. This is largely an expository article where we describes various aspects of geometry and analysis associated with path.

研究の動機と目的

• ケーラー類内における定曲率ケーラー（cscK）計量の一般存在問題を解くための新しい連続的経路を提案すること。
• 連続的経路に沿った解集合の開性を確立すること。これは、連続的メソッドによる存在の証明に向けた重要な一歩である。
• 標準的ケーラー・エネルギーが完全に強制的でない場合でも、$ t \in (0,1) $ におけるねじれケーラー・エネルギー関数の測地線距離における強制的性を示すこと。
• 代数的安定性予想を補完するPDEに基づくアプローチをcscK問題に適用すること。

提案手法

• パrameter $ t \in [0,1] $ でパrameter化された方程式の1パラメータ族を導入し、ねじれ極値計量方程式とcscK方程式の間を補間する。
• ねじれcscK計量方程式を $ (1-t)\operatorname{tr}_{\varphi_t}\chi - t R_{\varphi_t} = C_t $ と定義する。ここで $ C_t $ は $ t $ に依存する定数である。
• ねじれケーラー・エネルギー関数 $ E_{\mu_k,t} = tE + (1-t)J_{\mu_k} $ を導入し、Mabuchiケーラー・エネルギーと一般化された $ J $-汎関数を組み合わせる。
• LeBrun-Simancaのアイデアにインspiredされた摂動論法を用い、適切なバナッハ空間設定における陰関数定理を応用することで、解集合の開性を証明する。
• 測地線セグメントに沿った関数の振る舞いを分析することで、$ t \in (0,1) $ におけるねじれケーラー・エネルギーの強制的性を確立する。
• モーメント写像の図式と関数不等式を用い、経路の幾何学的性質と安定性条件との関係を結ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般に、ケーラー・アインシュタインの場合を超えて、cscK計量問題を解くための新しい連続的経路を構築できるか？
• RQ2 提案された経路に沿って、$ t \in (0,1) $ における解集合が開かれており、局所的可解性が保証され、グローバルな継続が可能であるか？
• RQ3 標準的ケーラー・エネルギーが完全に強制的でない場合でも、$ t \in (0,1) $ におけるねじれケーラー・エネルギー関数の測地線距離における強制的性は成立するか？
• RQ4 cscK計量の存在が、この経路に沿ったねじれケーラー・エネルギー関数の適切性（properness）によって特徴付けられるか？
• RQ5 この新しい経路は、K-安定性とcscK計量に関するYau-Tian-Donaldson予想とどのように関係しているか？

主な発見

• 提案された連続的経路の解集合 $ I \subset [0,1] $ は、すべての $ t \in (0,1) $ で開である。これは定理1.5で証明されている。
• 任意の $ t \in (0,1) $ に対して、ねじれケーラー・エネルギー関数は測地線距離において強制的である。これは定理3.4で確立されている。
• Fine, Stoppa, Lejmi-Székelyhidiの先行研究を一般化しており、特に $ t = 1/2 $ でStoppaの方程式が回復される。
• ねじれケーラー・エネルギー関数 $ E_{\mu_k,t} = tE + (1-t)J_{\mu_k} $ は、すべての $ k = 1, \dots, n $ に対して $ C^{1,1} $ 測地線セグメントに沿って凸である。これは定理6.2で示されている。
• $ k = n $ の場合、予想の必要条件が証明された：$ t_0 \in (0,1) $ でねじれcscK計量が存在するならば、ねじれケーラー・エネルギー $ t_0E + (1-t_0)J_\mu $ は測地線距離において適切である。
• 汎関数 $ J_{\mu_k} $ は、不等式系列 $ J_{\omega_0^n} \geq \cdots \geq J_{\omega_0} \geq \frac{1}{n+1}J $ を満たす。これは命題6.1で示されている。