[論文レビュー] On Deformation Quantization of Poisson-Lie Groups and Moduli Spaces of Flat Connections

David Li-Bland, Pavol Ševera|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、境界およびマークド点をもつ曲面上の平坦接続のモジュライ空間を含む、ポisson=リー群およびその関連モジュライ空間のための明示的かつ函手的な変形量子化の構成を提示する。ドリンフェルトのアソシエータとドリンフェルト圏におけるモノイダル函手（結合とコイソトロピック還元）を用いて、準ポアソン構造を量子化するスター積を構成し、エティンフォルトとカジダンのダブルやヘイゼンベルクダブルの既知の量子化を回復する。

ABSTRACT

We give simple explicit formulas for deformation quantization of Poisson-Lie groups and of similar Poisson manifolds which can be represented as moduli spaces of flat connections on surfaces. The star products depend on a choice of Drinfeľd associator and are obtained by applying certain monoidal functors (fusion and reduction) to commutative algebras in Drinfeľd categories. From a geometric point of view this construction can be understood as a quantization of the quasi-Poisson structures on moduli spaces of flat connections.

研究の動機と目的

• ポアソン=リー群および関連する平坦接続のモジュライ空間のための明示的かつ体系的なスター積の構成。
• ドリンフェルト圏における結合とコイソトロピック還元に基づく函手的プロセスとしての変形量子化の実現。
• 得られたスター積が、モジュライ空間の下位にある準ポアソン幾何学と整合することの確認。
• エティンフォルト=カジダンの量子化などの既知の量子化が、一般構成の特別な場合として回復されることの示唆。
• 量子化における代数的構造（例えばホップ代数の性質）を保存するための今後の研究の基盤の構築。

提案手法

• リー代数 $\mathfrak{g}$、不変な要素 $t \in (S^2\mathfrak{g})^\mathfrak{g}$、およびドリンフェルトのアソシエータ $\Phi$ を用いて、ドリンフェルト圏 $U\mathfrak{g}\text{-Mod}^\Phi$ 内の可換代数を構成する。
• ドリンフェルト圏 $U\mathfrak{g}\text{-Mod}^\Phi$ のブレード付きテンソル構造を用いて、基本的構成要素（例：2つのマークド点をもつディスクの $G$）に関連する代数を結合するモノイダル函手（結合）を適用する。
• ドリンフェルト圏における $\mathfrak{c}$-不変量によるコイソトロピック還元を実行し、$G/H$ やモジュライ空間 $M_{\Sigma,V}(G)$ のような商空間上の代数を得る。
• 作用 $\exp(\hbar t^{1,2}/2)$ とアソシエータ $\Phi(\hbar t^{1,2}, \hbar t^{2,3})$ を用いて、圏内での変形積を定義し、量子補正に応じて結合的かつ可換性を保証する。
• 非偶数アソシエータの場合は、$+$ および $-$ のマークド点（それぞれ $\mathfrak{g}$ および $\bar{\mathfrak{g}}$ の作用に対応）をもつ領域に曲面を分割し、$G^E$ を通じて結合し、余分な点で還元してそれらを除去する。
• 最終的に得られる $C^\infty(M_{\Sigma,V}(G))[[\hbar]]$ 上のスター積は、変形代数の $\mathfrak{c}$-不変量をとることにより得られ、モジュライ空間上のポアソン構造の量子化をもたらす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的および圏論的構造を用いて、ポアソン=リー群のための変形量子化を体系的に構成する方法は何か？
• RQ2 平坦接続のモジュライ空間上の準ポアソン構造は、ドリンフェルト圏における函手的手続きによって量子化可能か？
• RQ3 提案された構成は、エティンフォルト=カジダンの量子化などの既知の量子化を特別な場合として回復するか？
• RQ4 曲面の分割の選択およびアソシエータの選択が得られるスター積に与える影響は何か？
• RQ5 エティンフォルト=カジダンの構成における量子コプロダクトと、結合と還元によって得られるスター積との関係は何か？

主な発見

• 本稿は、ドリンフェルト圏におけるモノイダル函手を用いて、ポアソン=リー群および平坦接続のモジュライ空間のための明示的スター積を構成し、その積はドリンフェルトアソシエータの選択に依存する。
• この構成は、エティンフォルト=カジダンのドリンフェルトダブルの量子化を特別な場合として回復し、$G$ 上のスター積が恒等元における量子コプロダクトと一致する。
• ヘイゼンベルクダブルの場合は、同じ手続きにより、ル=ヴァインシュタインのダブルシンプレクティック群の下部同型な量子化が得られる。
• $C^\infty(G)$ 上のスター積は、$U(\mathfrak{g} \oplus \bar{\mathfrak{g}})\text{-Mod}^\Phi$ 内で結合的かつ可換であり、変形は $\exp(\hbar t^{1,2}/2)$ とアソシエータ $\Phi$ によって制御される。
• ドリンフェルト圏におけるコイソトロピック還元により、商空間 $M_{\Sigma,V}(G)/C$ の量子化が得られ、その結果得られる代数は $U\mathfrak{h}\text{-Mod}^\Phi$ 内の結合的代数である。
• この方法は一般性を有し、リー代数 $\mathfrak{g}$ とアソシエータ $\Phi$ が固定されており、かつ安定化子がコイソトロピックであれば、任意のマークド点をもつ曲面に適用可能である。