[論文レビュー] Quantization of Lie bialgebras revisited

Pavol Ševera|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、braided monoidal category 内の cocommutative coalgebra と braided comonoidal functor を用いて、Lie bialgebra の量子化をより単純化した新規な手法を提示する。関手を cocommutative coalgebra の cobar construction に適用することで、Hopf algebra を構成し、二重の量子化を回避する。この方法は依然として Drinfeld 連結子に依存しており、無限小的に braided な Lie bialgebra に適用可能である。

ABSTRACT

We describe a new method of quantization of Lie bialgebras, based on a construction of Hopf algebras out of a cocommutative coalgebra and a braided comonoidal functor.

研究の動機と目的

• 従来の手法における二重の量子化を回避し、関手的量子化のためのより直接的な新しい手法を開発すること。
• 逆元条件を満たす cocommutative coalgebra と braided comonoidal functor から Hopf algebra を構成すること。
• 無限小的に braided な Lie bialgebra を braided Hopf algebra に量子化する方法を一般化すること。
• 群の nerve を出発点とする simplicial 構造と不変量を用いた、量子化の幾何学的・圏論的解釈を提供すること。

提案手法

• cocommutative coalgebra $M$ と、別の braided monoidal category $\mathcal{C}$ への braided comonoidal functor $F:\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ を用いて、Hopf algebra を構成する。
• $M$ の cobar construction $E_nM = M^{n+1}$ を、$\mathcal{D}$ 内の simplicial coalgebra とみなす。$M$ が cocommutative であっても、これは非 cocommutative である。
• 関手 $F$ をこの simplicial 構造に適用し、$B_nM = F(E_nM)$ を得る。Hopf algebra 構造は $B_1M = F(M \otimes M)$ 上に実現される。
• $F(M \otimes M)$ 上の coproduct と product は、face map と braided tensor product から得られ、$F$ の braided comonoidal 構造によって整合性が保証される。
• 自然変換の逆元条件が、得られる代数が Hopf algebra であることを保証する。
• Lie bialgebra への応用では、$C^\infty(G)$ を $U\mathfrak{d}$-modul における coalgebra とみなす。$F$ は $\mathfrak{g}$-不変部分空間をとることで与えられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重の量子化を経ずに、cocommutative coalgebra と braided comonoidal functor から Hopf algebra を直接構成できるか？
• RQ2 cobar construction の simplicial 構造は、量子化プロセスにおける Hopf algebra 構造とどのように関係するか？
• RQ3 この手法を無限小的に braided な Lie bialgebra を braided Hopf algebra に量子化するために拡張可能か？
• RQ4 この構成における Drinfeld 連結子の役割は、Etingof-Kazhdan や Tamarkin の手法におけるそれと比べてどう異なるか？
• RQ5 群の nerve の幾何的解釈は、braided 圈における coalgebra へとどのように一般化できるか？

主な発見

• 逆元条件のもとで、cocommutative coalgebra $M$ と braided comonoidal functor $F$ から、$F(M \otimes M)$ 上に Hopf algebra を構成できる。
• 従来の Etingof-Kazhdan の手法と比較して、Lie bialgebra の二重の量子化を回避し、全体の量子化手続きを単純化する。
• 得られる $C^\infty(G)$ 上の product は、Poisson 構造 $\pi$ を量子化する star-product であり、1次項は $\frac{\hbar}{2}\{f_1,f_2\}$ で与えられる。
• この $C^\infty(G)$ 上の coproduct は $\Delta_\hbar = D_\hbar \circ \Delta_0$ の形であり、$D_\hbar$ は古典的 coproduct を変形する微分作用素である。
• 構成は、$U\mathfrak{d}\text{-mod}_\hbar^\Phi$ 内の simplicial 多様体 $E_\bullet G = G^{\bullet+1}$ の deformation 量子化を提供し、これは $B_\bullet G$ の量子化に降下する。
• この手法は、無限小的に braided な Lie bialgebra に対しても適用可能であり、同じ関手的メカニズムにより braided Hopf algebra を得る。