[論文レビュー] On deformations of generalized Calabi-Yau, hyperKähler, $G_2$ and Spin$(7)$ structures I

Ryushi Goto|ArXiv.org|Dec 10, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、バンドル $T \oplus T^*$ のクライフォード代数とコンフォーマルピン群の作用を用いて、一般化された幾何構造—特に一般化されたカラビ=ヤウ、ハイパーケーラー、G₂、およびSpin(7)構造—の変形を統一的に扱うコhomologicalフレームワークを導入する。非遮断的変形の基準を確立し、これらの構造に対して局所Torelli型定理を証明する。主な結果として、一般化されたSpin(7)構造の非遮断的変形が示され、$dd_J$-性質を満たす一般化されたカラビ=ヤウ構造に対してボゴモロフ=ティアン=トドロフ定理の類似が得られる。

ABSTRACT

In this paper we will introduce a new notion of geometric structures defined by systems of closed differential forms in term of the Clifford algebra of the direct sum of the tangent bundle and the cotangent bundle on a manifold. We develop a unified approach of a deformation problem and establish a criterion of unobstructed deformations of the structures from a cohomological point of view. We construct the moduli spaces of the structures by using the action of b-fields and show that the period map of the moduli space is locally injective under a cohomological condition (the local Torelli type theorem). We apply our approach to generalized Calabi-Yau (metrical) structures and obtain an analog of the theorem by Bogomolov-Tian-Todorov. Further we prove that deformations of generalized Spin(7) structures are unobstructed.

研究の動機と目的

• $T \oplus T^*$ のクライフォード代数を用いた一般化された幾何構造の統一的変形理論の構築。
• このような構造の非遮断的変形のコhomological基準の確立。
• $b$-場の作用と微分同相群の同一成分による商を用いてモジュライ空間を構成し、コhomological条件の下で局所Torelli型定理を証明すること。
• 一般化されたカラビ=ヤウ（計量的）構造へのボゴモロフ=ティアン=トドロフ定理の一般化。
• 一般化されたSpin(7)構造の変形が非遮断的であることを証明すること。

提案手法

• コンフォーマルピン群の作用が $\bigoplus \wedge^* T^*$ 上で与える軌道における閉微分形式の系によって定義される幾何構造の概念を導入する。
• $B(V)$-構造を、多様体 $X$ 上のファイバー束 $B(X)$ の $d$-閉な全切断として定義し、微分同相群の同一成分による商としてモジュライ空間を構成する。
• $b \in \wedge^2 T^*$ および $\beta \in \wedge^2 T$ に対して $e^b$ と $e^\beta$ の作用を用い、これらはスピン群に属するため変形を生成する。
• Clifford作用と $d$ の交換子として定義される3次のClifford-リー作用素を定義し、変形不変量の解析に用いる。
• $dd_J$-性質（$\partial\bar\partial$-lemma の一般化）を適用して、一般化されたSLn(C)構造と一般化された複素構造の関係を明らかにする。
• 一般化された計量 $G_\Phi$ とラプラシアン $\triangle_\Phi$ に関するホッジ分解を用いて、周期写像の単射性と局所Torelli定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された幾何構造の変形が非遮断的であるためのコhomological条件は何か？
• RQ2 どのようにして $b$-場の作用と微分同相写像を用いて一般化された幾何構造のモジュライ空間を構成できるか？
• RQ3 $dd_J$-性質が一般化されたカラビ=ヤウ構造の非遮断的変形をどの程度保証するか？
• RQ4 一般化されたSpin(7)構造のモジュライ空間の周期写像は局所的に単射か？
• RQ5 一般化されたSpin(7)構造は、標準的な一般化された計量および自己双対でない偶数次形式とどのように関係するか？

主な発見

• 一般化されたSpin(7)構造の変形は、関連するコhomology群における障害類の消滅により、非遮断的であることが示された。
• コhomological条件の下で、一般化された幾何構造のモジュライ空間の周期写像は局所的に単射であり、局所Torelli型定理が確立された。
• $dd_J$-性質により、一般化されたSLn(C)構造の変形が非遮断的であり、その変形空間が関連する一般化された複素構造の変形空間へ全射的に写像されることも示された。
• 反自己双対な偶数次形式のバンドル $\wedge^{\text{even}}_-$ は $E^1_{\Phi} = \text{Cl}_2 \cdot \Phi$ に含まれており、これは一般化された計量構造を特徴付ける。
• 一般化されたSpin(7)構造に付随する一般化された計量 $G_\Phi$ は自然に定義され、適切に定義されたホッジスター作用素とラプラシアン $\triangle_\Phi$ を誘導する。
• ホッジ分解とグリーン作用素を用いて、コhomology複体 $\{E^k_{\text{Spin}}(X), d^k\}$ 内の写像 $p^2_{B\text{Spin}}$ の単射性が証明され、局所Torelli性が確認された。