[論文レビュー] On Deformations of Generalized Complex Structures: the Generalized Calabi-Yau Case

Yi Li|ArXiv.org|Aug 4, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 27被引用数 31

ひとこと要約

この論文は、ねじれ generalized Calabi-Yau多様体に対して一般化されたTian-Todorov定理を確立し、その一般化された複素構造のモジュライ空間が非特異的かつ滑らかであり、関連するLie代数的束の第二コhomologyに等しい次元を持つことを証明する。さらに、Frobenius構造を備えた拡張されたモジュライ空間を構成し、通常のCalabi-Yau幾何学の結果を一般化された複素幾何学へと拡張する。

ABSTRACT

We prove an analog of the Tian-Todorov theorem for twisted generalized Calabi-Yau manifolds; namely, we show that the moduli space of generalized complex structures on a compact twisted generalized Calabi-Yau manifold is unobstructed and smooth. We also construct the extended moduli space and study its Frobenius structure. The physical implications are also discussed.

研究の動機と目的

• ねじれ generalized Calabi-Yau多様体に対する一般化されたTian-Todorov定理を確立すること。
• このような多様体上の一般化された複素構造のモジュライ空間が非特異的かつ滑らかであることを証明すること。
• 一般化されたCalabi-Yau構造に関連する拡張されたモジュライ空間を構築し、その解析を行うこと。
• 拡張されたモジュライ空間上のFrobenius構造を研究し、その物理的意味を明らかにすること。
• 微分的ゲルステンハーバー代数を用いて、複素構造の変形理論を一般化された複素設定へと一般化すること。

提案手法

• 一般化された複素構造に関連するLie代数的束のコホモロジーを用いて、無限小変形を記述する。
• コンパクトなねじれ generalized Calabi-Yau多様体上で、Lie代数的束の第三コホモロジー群の消滅定理を適用し、変形の非特異的性質を示す。
• 一般化されたCalabi-Yau構造に関連する微分的ゲルステンハーバー代数の変形函手を用いて、拡張されたモジュライ空間を構成する。
• EとEεの間のゲージに似た同型写像σを用いて、変形された微分複体の同型を確立し、変形されたBRST作用素の同値性を示す。
• Courant括弧と一般化された複素構造の整合性を用いて、Lie代数的束およびその微分を定義する。
• 変形理論およびホモロジー代数の技術を適用し、拡張されたモジュライ空間がFrobenius構造を引き継ぐことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなねじれ generalized Calabi-Yau多様体上の一般化された複素構造のモジュライ空間は、非特異的のまま保たれるか？
• RQ2 一般化されたCalabi-Yau多様体の拡張されたモジュライ空間にFrobenius構造を導入できるか？
• RQ3 一般化された複素構造の変形理論は、Calabi-Yau多様体に対する古典的Tian-Todorov定理をどのように一般化するか？
• RQ4 微分的ゲルステンハーバー代数は、一般化されたCalabi-Yau多様体の拡張されたモジュライ空間を記述する上で果たす役割は何か？
• RQ5 2形式εによる変形の下で、変形されたBRST作用素D_EとLie代数的束の微分d_{E_ε}の関係は何か？

主な発見

• コンパクトなねじれ generalized Calabi-Yau多様体上の一般化された複素構造のモジュライ空間は、非特異的かつ滑らかであり、関連するLie代数的束の第二コホモロジー群に等しい次元を持つ。
• コンパクトなねじれ generalized Calabi-Yau多様体において、Lie代数的束の第三コホモロジー群が消えるため、変形の障害が存在しないことが示される。
• 一般化されたCalabi-Yau多様体の拡張されたモジュライ空間は、関連する微分的ゲルステンハーバー代数の形式的モジュライ空間として構成される。
• 拡張されたモジュライ空間にはFrobenius構造が存在し、通常のCalabi-Yauモジュライ空間に既知の性質が一般化される。
• 変形されたBRST作用素D_Eは、pullback σ* による同型σ* によって微分d_{E_ε}と同型であり、変形下でもコホモロジー構造が等価であることが保証される。
• 複体 (g, D_E) と (g_ε, d_{E_ε}) の間の同型σ* は、変形がコホモロジー的データを保存することを確認し、D_Eを変形されたBRST作用素として物理的に解釈することを正当化する。