[論文レビュー] On deformations of Q-factorial symplectic varieties

Yoshinori Namikawa|ArXiv.org|Jun 27, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、終極的特異点をもつQ-因子的で、射影的・シンプレクティックな多様体の任意の平坦な変形が、すべての特異点を保ちながら局所的に自明であることを証明する。このことは、このような多様体が変形によって滑らかにできないことを意味し、シンプレクティック特異点論における重要な問題を解決する。結果として、滑らかにできるかどうかは、真性シンプレクティック解消の存在と同値であることが示され、K3面上の層のモジュライ空間への応用がある。

ABSTRACT

We shall prove that any small deformation of a Q-factorial projective symplectic variety with terminal singularities is locally rigid; in other words, it preserves the singularity. In particular, many singular symplectic moduli of semi-stable sheaves on K3 have no smoothings via deformations. As an application of the result, we also prove that the smootheness is preserved under a flop in our symplectic case. We conjecture that a projective symplectic variety has a smoothing by a flat deformation if and only if it has a crepant (symplectic) resolution. This conjecture would be true if the minimal model conjecture were true.

研究の動機と目的

• Namikawa (2003) が提起した問題、すなわち、滑らかにできるQ-因子的シンプレクティック多様体は必ず非特異的でなければならないか、という問いを解決すること。
• 終極的特異点をもつQ-因子的射影的シンプレクティック多様体の変形について、局所的剛性を確立すること。
• 変形による滑らか化と真性シンプレクティック解消の存在との関係を明確にすること。
• Q-因子的終極化の文脈において、フロップの下でも滑らかさが保存されることを証明すること。
• 特異点をもつシンプレクティック多様体の変形空間を理解するためのホッジ理論的基盤を提供すること。

提案手法

• シンプレクティック多様体の定義を用いる：正則部分集合に非退化なホロモルフィック2形式が存在し、任意の解消においても拡張可能である、正則なコンpakト・カハラー空間。
• Q-因子的性質を適用する：任意のウェイル除法はQ-カリーである。これは、特異点のコホモロジー類の像が、コホモロジーの押し出し写像の像を生成することと同値である。
• 混合ホッジ理論と局所コホモロジー列を用いて、正則部分集合とその解消におけるホッジ構造を比較する。
• 特異点の余次元が4以上の場合、正則部分集合と解消におけるホッジ構造の自然な写像が同型であることを用いる。
• [Na1] および [K] の変形空間とクーランシ族に関する結果を適用し、Q-因子的終極化に適応する。
• 多様体とその終極化のクーランシ空間間の写像の有限性を用いて、剛性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 終極的特異点をもつQ-因子的射影的シンプレクティック多様体は、平坦な変形によって滑らかにできるか？
• RQ2 変形による滑らか化と真性シンプレクティック解消の存在は同値か？
• RQ3 あるQ-因子的終極化が滑らかであれば、フロップの下でも他のすべての終極化も滑らかであるか？
• RQ4 このようなシンプレクティック多様体の変形空間は局所的に剛性を持つか？
• RQ5 正則部分集合におけるホッジ構造は、解消におけるものとどのように関係するか？

主な発見

• 終極的特異点をもつQ-因子的射影的シンプレクティック多様体の任意の平坦な変形は、すべての特異点を保ちながら局所的に自明である。
• このような多様体は平坦な変形によって滑らかにできない。つまり、変形論的意味での滑らか化は不可能である。
• 変形による滑らか化は、非特異な真性シンプレクティック解消の存在と同値である。
• あるQ-因子的終極化が滑らかであれば、フロップの下でもすべての他の終極化も滑らかである。
• シンプレクティック多様体のクーランシ空間は滑らかであり、任意のQ-因子的終極化のそれと同じ次元をもつ。
• 多様体とその終極化のクーランシ空間の間の自然な写像は、有限被覆である。