[論文レビュー] On dependence consistency of CoVaR and some other systemic risk measures

Georg Mainik, Eric Schaanning|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2012

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、CoVaRの2つの定義—X = VaRα(X) で条件づけるのと、X ≥ VaRα(X) で条件づけるの—を比較し、後者が二変量正規分布、t分布、t分布を縁とするGumbel copulaといった主要なモデルにおいて依存性の一貫性を保証することを示している。主な発見は、X ≥ VaRα(X) で定義されるCoVaRのみが依存パラメータに関して単調増加することであり、元の定義ではこの性質を満たさない。特に、相関係数が 1/√2 を超えると正規分布では逆に減少するため、システム的リスクの直感に反する。

ABSTRACT

This paper is dedicated to the consistency of systemic risk measures with respect to stochastic dependence. It compares two alternative notions of Conditional Value-at-Risk (CoVaR) available in the current literature. These notions are both based on the conditional distribution of a random variable Y given a stress event for a random variable X, but they use different types of stress events. We derive representations of these alternative CoVaR notions in terms of copulas, study their general dependence consistency and compare their performance in several stochastic models. Our central finding is that conditioning on X>=VaR_α(X) gives a much better response to dependence between X and Y than conditioning on X=VaR_α(X). We prove general results that relate the dependence consistency of CoVaR using conditioning on X>=VaR_α(X) to well established results on concordance ordering of multivariate distributions or their copulas. These results also apply to some other systemic risk measures, such as the Marginal Expected Shortfall (MES) and the Systemic Impact Index (SII). We provide counterexamples showing that CoVaR based on the stress event X=VaR_α(X) is not dependence consistent. In particular, if (X,Y) is bivariate normal, then CoVaR based on X=VaR_α(X) is not an increasing function of the correlation parameter. Similar issues arise in the bivariate t model and in the model with t margins and a Gumbel copula. In all these cases, CoVaR based on X>=VaR_α(X) is an increasing function of the dependence parameter.

研究の動機と目的

• 異なる条件付き事象におけるCoVaRの依存性の一貫性を評価すること。
• X = VaRα(X) で条件づける元のCoVaRと、X ≥ VaRα(X) で条件づける修正版CoVaRを比較すること。
• CoES、MES、SII といったシステム的リスク指標が、CoVaRの定義から依存性の一貫性をどのように引き継ぐかを評価すること。
• 元のCoVaRが依存パラメータに関して単調でないことを示す反例を提供し、ストレス状況下での信頼性の欠如を明らかにすること。

提案手法

• コピュラを用いてCoVaRおよびCoESの表現を導出し、依存構造を分析する。
• 二変量分布およびコピュラの一致順序を用いて、依存性の一貫性の理論的条件を確立する。
• 修正されたCoVaR定義（X ≥ VaRα(X) で条件づける）を、二変量正規分布、二変量t分布、t分布を縁とするGumbelコピュラの3つの確率的モデルに適用する。
• 解析的導出と数値的比較を用いて、CoVaRおよびCoESの依存パラメータに関する単調性を評価する。
• Marginal Expected Shortfall (MES) および Systemic Impact Index (SII) といった関連するシステム的リスク指標への拡張を行う。
• 反例を用いて、元のCoVaR（X = VaRα(X) で条件づける）が二変量正規分布や他のモデルにおいて相関係数の増加に対して増加しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 X = VaRα(X) で条件づけるCoVaRは、多変量モデルにおける依存性の増加に一貫して応答するか？
• RQ2 X ≥ VaRα(X) で条件づけるCoVaRは、一般的なコピュラ族において依存パラメータに関して単調増加するか？
• RQ3 条件付き事象の選択が、システム的リスク指標の整合性と信頼性にどのように影響するか？
• RQ4 CoVaRの依存性の一貫性は、コピュラの一致順序といった既知の概念と関連づけられるか？
• RQ5 MES や SII といった関連するシステム的リスク指標は、修正されたCoVaR定義から依存性の一貫性を引き継ぐか？

主な発見

• X = VaRα(X) で条件づけるCoVaRは依存性の一貫性を満たさない。特に二変量正規分布では、相関係数 ρ > 1/√2 のとき減少し、システム的リスクの直感に反する。
• X ≥ VaRα(X) で条件づけるCoVaRは、テストされたすべてのモデル（二変量正規分布、t分布、tを縁とするGumbelコピュラ）において依存パラメータに関して単調増加する。
• 修正されたCoVaRの依存性の一貫性は、コピュラの一致順序に基づく数学的根拠により裏付けられており、理論的基盤が堅固である。
• 元のCoVaR定義は、高相関状況下で最も顕著なシステム的リスクを検出できない。反例によりその事実が示された。
• 修正されたCoVaRおよびその拡張（CoES、MES、SII）は、依存性の一貫性を引き継いでおり、規制上のストレステストへの応用を支持する。
• X ≥ VaRα(X) で条件づけることで、より頑健で解釈可能なシステム的リスク指標が得られ、X = VaRα(X) の極めて選択的かつ楽観的な状況に比べて優れている。