[論文レビュー] On Deterministic Markov Processes: Expandability and Related Topics

Alexander Schnurr|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、与えられた決定的関数 $ f:[0, otinfty) obR^d $ が決定的マルコフ過程のパスであるかどうかを判定するための基準を確立する。特に、半マルティンゲールおよびイト過程の構造に注目している。主な貢献は、1次元の決定的マルコフ過程における半マルティンゲール性の特徴付けを、そのジャンプ行動に基づいて行い、このような過程がジャンプ構造を持つハント過程よりも複雑であることを明らかにしている。

ABSTRACT

We treat the class of universal Markov processes on the d-dimensional Euklidean space which do not depend on random. For these, as well as for several subclasses, we prove criteria whether a function f, defined on the positive half-line, can be a path of a process in the respective class. This is useful in particular in the construction of (counter-)examples. Furthermore we characterize the processes of this kind, which are homogeneous in space and time. The semimartingale property is characterized in terms of the jumps of a one-dimensional deterministic Markov process. We emphasize the differences between the time homogeneous and the time inhomogeneous case and we show that a deterministic Markov process is in general more complicated than a Hunt process plus 'jump structure'.

研究の動機と目的

• 与えられた決定的関数 $ f:[0,\infty)\to\mathbb{R}^d $ が、与えられたクラス（例えば、半マルティンゲール、イト過程）における決定的マルコフ過程のパスである条件を特定すること。
• 時定常的および時非定常的決定的マルコフ過程の構造的差異を明確にすること。
• 決定的マルコフ過程が半マルティンゲールである可能性、およびそのような場合の条件を調査すること。
• このような過程をジャンプ成分を追加したハント過程としてモデル化する際の限界を提示すること。

提案手法

• 本稿では、与えられたパスが決定的マルコフ過程に埋め込めるかどうかを判定するための「拡張可能性」の概念を用いる。
• 1次元の決定的マルコフ過程における半マルティンゲール性を、そのジャンプ行動とパスの正則性を用いて特徴付ける。
• 解析は、生成子の記号と、特に時空拡張における過程の時非定常構造に依存している。
• 時非定常ケースを研究するため、写像 $ \Phi^x(t) = (X_t^x, t) $ を用いて単射的パス写像を導入し、生成子記号を導出する。
• 区分的線形および自己相似パスを用いた明示的反例を構築することで、非マルコフ的挙動およびパスの複雑さを示している。
• 半マルティンゲールの特徴およびマルティンゲール問題といった、確率解析の技術を用いてパスの性質を分析している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた決定的パス $ f:[0,\infty)\to\mathbb{R}^d $ が、与えられたクラス（例：半マルティンゲール、イト過程）における決定的マルコフ過程のパスである可能性は何か？
• RQ2 1次元の決定的マルコフ過程における半マルティンゲール性は、そのパス構造およびジャンプ行動によってどのように特徴付けられるか？
• RQ3 時定常的および時非定常的決定的マルコフ過程は、パス挙動および構造的複雑さにおいてどのように異なるか？
• RQ4 2つの時定常的決定的マルコフ過程の和は、常に時定常的かつマルコフ的であるか？
• RQ5 決定的マルコフ過程は、追加のジャンプ成分を備えたハント過程として、どの程度までモデル化可能か？

主な発見

• 決定的マルコフ過程は必ずしも半マルティンゲールではなく、その半マルティンゲール性は1次元パスのジャンプ行動によって特徴付けられる。
• 有限変動を示さず、単調性を示さない決定的マルコフ過程が存在し、1次元であっても成立する。
• 2つの時定常的決定的マルコフ過程の和は、一般に時定常的でもマルコフ的でもない。明示的な反例によって示されている。
• 線形のドリフトとジャンプ構造の組み合わせにより、有限時間内に無限大に達する決定的過程を、時定常性のもとでも構築可能である。
• 時非定常的決定的マルコフ過程の時空拡張は時定常過程となるが、生成子記号はパスに依存し、非自明な形をとる。
• 時空過程の生成子記号は、対応する点におけるパスの右側微分係数に依存し、マルコフ性のおかげでこの表現は適切に定義されている。