[論文レビュー] On directed homotopy equivalences and a notion of directed topological complexity

Éric Goubault|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、方向付きホモトピー同値（dihomotopy equivalence）という新しい概念と、それに伴う方向付き位相的複雑性（$\overrightarrow{TC}$）を導入し、$\overrightarrow{TC}$ が方向付きホモトピー同値のもとで不変であることを証明している。また、空間が $\overrightarrow{TC} = 1$ を満たすための必要十分条件は、それが点と方向付きホモトピー同値であること（つまり、dicontractibleであること）であることが示され、ロボット工学や制御理論への応用を想定した方向付き空間への古典的位相的複雑性の拡張がなされている。

ABSTRACT

This short note introduces a notion of directed homotopy equivalence and of "directed" topological complexity (which elaborates on the notion that can be found in e.g. Farber's book) which have a number of desirable joint properties. In particular, being dihomotopically equivalent implies having bisimilar natural homologies (defined in Dubut et al. 2015). Also, under mild conditions, directed topological complexity is an invariant of our directed homotopy equivalence and having a directed topological complexity equal to one is (under these conditions) equivalent to being dihomotopy equivalent to a point (i.e., to being "dicontractible", as in the undirected case). It still remains to compare this notion with the notion introduced in Dubut et al. 2016, which has lots of good properties as well. For now, it seems that for reasonable spaces, this new proposal of directed homotopy equivalence identifies more spaces than the one of Dubut et al. 2016.

研究の動機と目的

• 方向付き位相空間における構造的不変性をよりよく捉えることができる、方向付きホモトピー同値（dihomotopy equivalence）の新しい概念を定義すること。
• ロボット工学や制御理論において経路の方向性や制御制約が重要となる状況に適した、位相的複雑性の方向付き版（$\\overrightarrow{TC}$）を導入すること。
• $\overrightarrow{TC}$ が方向付きホモトピー同値のもとで不変であることを確立し、同値な空間間での堅牢性を保証すること。
• $\overrightarrow{TC} = 1$ であるための必要十分条件が、空間が点と方向付きホモトピー同値であること（すなわち、dicontractibleであること）であることを示し、古典的収縮性の結果と類似させる。

提案手法

• d-空間間のd-写像を、方向付き経路（d-パス）を保存する連続写像として定義し、これにより方向付きホモトピー同値の基盤を築く。
• d-パス空間 $PX$（コンパクト・オーディナリー位相を備える）から $X \times X$ へのdパス空間写像 $\chi: PX \to X \times X$ を導入し、$\chi(p) = (p(0), p(1))$ と定義する。これは古典的パス空間ファイブレーションを一般化する。
• d-ホモトピーを用いて恒等写像にホモトープな $f \circ g$ と $g \circ f$ を持つ、d-写像の対 $f: X \to Y$ と $g: Y \to X$ を用いて、方向付きホモトピー同値を構成する。
• 写像 $\chi$ の像上での写像 $f^*: \Gamma_X \to \Gamma_Y$ と $g^*: \Gamma_Y \to \Gamma_X$ を用い、空間間で連続なセクションを移動させる。
• 逆ホモトピー情報から $f$ と $g$ を用いて、$F_i^Y$ という分割された部分集合上で連続セクションを構成することで、$\overrightarrow{TC}$ の不変性を証明し、連続的なビグレーディングにより連続性を保証する。
• 連続セクションの存在を用いて、$\overrightarrow{TC}(X) = 1$ が成り立つための必要十分条件を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 方向付きホモトピー同値の概念を定義することで、方向付き位相的複雑性が同値関係のもとで不変となるようにできるか？
• RQ2 $\overrightarrow{TC} = 1$ であれば、空間が点と方向付きホモトピー同値である（すなわち、dicontractibleである）と結論づけられるか？これは古典的収縮性の結果に類似している。
• RQ3 本稿で提示する新しい方向付きホモトピー同値は、[8]における定義と比較して、同値とみなされる空間をより多く特定するか、それともより少ないか？
• RQ4 分割された $\Gamma_X$ 上の部分集合で、dパス空間写像 $\chi$ の連続セクションを用いて、方向付き位相的複雑性を計算できるか？
• RQ5 CAT(0)立方体複体の普遍方向被覆において、$\overrightarrow{TC}$ と最大dパス数、またはレベル数との間に構造的関係があるか？

主な発見

• 方向付き位相的複雑性 $\overrightarrow{TC}$ は方向付きホモトピー同値のもとで不変である：$X$ と $Y$ が方向付きホモトピー同値であれば、$\overrightarrow{TC}(X) = \overrightarrow{TC}(Y)$ が成り立つ。
• 空間が $\overrightarrow{TC}(X) = 1$ を満たすための必要十分条件は、それが点と方向付きホモトピー同値であること（すなわち、dicontractibleであること）であり、やや弱い位相的条件のもとで成立する。
• 逆ホモトピー情報から得られる連続セクションの構成により、$\chi$ に対する連続セクションが同値な空間間で保たれ、$\overrightarrow{TC}$ が保存されることを保証する。
• 本稿で提唱する新しい方向付きホモトピー同値は、[8]における定義よりも多くの空間を同値とみなすため、同値関係がより粗いものであると示唆される。
• 中空の立方体d-空間について、$\overrightarrow{TC}(X) = 2$ であることが示され、これは古典的位相的複雑性よりも厳密に小さい。これは方向付き設定における重要な相違を示している。
• 証明は、ホモトピー逆写像 $F_{a,b}$ と $G_{c,d}$ の連続的ビグレーディングに依存しており、これにより $\Gamma_X$ と $\Gamma_Y$ の分割上でのセクションの持ち上げが連続性を保って行われる。