[論文レビュー] Directed homotopy theory, I. The fundamental category

Marco Grandis|ArXiv.org|Nov 5, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 59

ひとこと要約

本稿では、古典的代数的トポロジーにおける基本群小僧の非可逆的類似物としての基本圏を、d-空間（特権的な向き付き経路を備えた位相空間）における非可逆的ホモトピー理論の枠組みとして導入する。シリンダ関手と経路関手を用いて、方向付きのSeifert–van Kampen定理を証明し、基本圏が方向付きホモトピーに関して不変であることを示す。また、局所的に順序付けられた空間における余極限（例えば、余同値関係）が特定の幾何的実現を捉えられないと判明し、d-空間やd-距離空間のようなより広い枠組みの必要性が示される。

ABSTRACT

Directed Algebraic Topology is beginning to emerge from various applications. The basic structure we shall use for such a theory, a 'd-space', is a topological space equipped with a family of 'directed paths', closed under some operations. This allows for 'directed homotopies', generally non reversible, represented by a cylinder and cocylinder functors. The existence of 'pastings' (colimits) yields a geometric realisation of cubical sets as d-spaces, together with homotopy constructs which will be developed in a sequel. Here, the 'fundamental category' of a d-space is introduced and a 'Seifert - van Kampen' theorem proved; its homotopy invariance rests on 'directed homotopy' of categories. In the process, new shapes appear, for d-spaces but also for small categories, their elementary algebraic model. Applications of such tools are briefly considered or suggested, for objects which model a directed image, or a portion of space-time, or a concurrent process.

研究の動機と目的

• 空間時空モデルや並列処理といった特権的な方向性を持つ空間のための方向付きホモトピー理論を構築すること。
• d-空間の基本圏を、基本群小僧の非可逆的一般化として定義すること。
• 基本圏の計算に余極限を用いるための方向付きSeifert–van Kampen定理を証明すること。
• 標準的な圏（例えば、局所的に順序付けられた空間）が特定の幾何的実現をモデル化するのに十分な余極限構造を持たないことを示し、d-空間の導入の必要性を示すこと。
• カテゴリの観点から新しいd-ホモトピーの概念を用いて、基本圏が方向付きホモトピーに関して不変であることを確立すること。

提案手法

• 再パrametrizationおよび合成について閉じた向き付き経路の族を備えた位相空間としてd-空間を定義する。
• 方向付きホモトピーをモデル化するためのシリンダ関手と経路関手（↑I(X) = X×↑I および ↑P(X) = X↑I）を導入する。
• 2種類のホモトピー同値関係を定義する：d-ホモトピーと可逆的d-ホモトピーで、後者は圏同値に等しい。
• 貼り合わせ構成（余極限）を用いて、立方体集合をd-空間として幾何的に実現し、ホモトピー的構成を可能にする。
• dTopにおける押し出しを用いて、方向付きvan Kampen定理を適用し、基本圏の計算を可能にする。
• 二重位相的構造を通じてd-距離空間とd-空間の関係を確立し、d-距離空間がd-可度量化可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 並列処理や時空モデルのような非可逆的設定において、基本群小僧をどのように一般化できるか。
• RQ2 d-空間の基本圏が方向付きホモトピーに関して不変であるための条件は何か。
• RQ3 すべての立方体集合の幾何的実現を、局所的に順序付けられた空間の圏に埋め込むことは可能か。
• RQ4 余極限（例えば、余同値関係）はd-空間のホモトピー理論においてどのような役割を果たすのか。なぜ局所的に順序付けられた圏では失敗するのか。
• RQ5 d-距離空間とd-空間の関係は何か。また、d-距離空間は方向付きホモトピーのモデルとして機能できるか。

主な発見

• d-空間Xの基本圏↑Π1(X)は、(双)点付きd-ホモトピーに関して不変であり、これは古典的な基本群小僧の不変性を一般化する。
• 方向付きSeifert–van Kampen定理が確立され、基本圏↑Π1(X)の計算が余極限構成によって可能になる。
• dTopにおける2つの向き付き区間の余同値関係として得られる方向付き円周↑S1は、局所的に順序付けられた空間の圏（lpTop）では実現不可能である。これは、lpTopが十分な余極限構造を持たないことを示す。
• 非退化な1次元立方体a, bと2次元立方体wを持つ立方体集合Kの方向付き実現↑R(K)は、局所的に順序付けられていない。これは、lpTopを超えるd-空間の必要性を示す。
• 非対称距離を備えたd-距離空間（d-距離空間）はd-可度量化可能であり、↑R、↑I、↑S1、↑Snといった標準的な方向付き空間を、dMtrにおける余同値関係によってモデル化可能である。
• 点xにおける基本モノイド↑π1(X, x)は、常に全基本圏よりも少ない情報を持つことが多く、これは圏レベルの構造の重要性を強調する。