[論文レビュー] On discrete functional inequalities for some finite volume schemes

Marianne Bessemoulin‐Chatard, Claire Chainais-Hillairet+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般のメッシュおよび任意の境界条件を想定した有限体積スキームに対して、離散的Gagliardo-Nirenberg-SobolevおよびPoincaré-Sobolev不等式を確立する。その根拠として、BV(Ω)がL^{N/(N-1)}(Ω)に連続的に埋め込まれることを用いる。主な貢献は、DDFV（離散双対性有限体積）フレームワークにおいて、非線形および異方性楕円型・放物型問題の収束解析を可能にする、堅牢なフレームワークの構築である。

ABSTRACT

We prove several discrete Gagliardo-Nirenberg-Sobolev and Poincaré-Sobolev inequalities for some approximations with arbitrary boundary values on finite volume meshes. The keypoint of our approach is to use the continuous embedding of the space $BV(Ω)$ into $L^{N/(N-1)}(Ω)$ for a Lipschitz domain $ Ω\subset \mathbb{R}^{N}$, with $N \geq 2$. Finally, we give several applications to discrete duality finite volume (DDFV) schemes which are used for the approximation of nonlinear and non isotropic elliptic and parabolic problems.

研究の動機と目的

• 非線形および異方性楕円型・放物型問題に適用可能な有限体積スキームのための離散的関数不等式を導出すること。
• Poincaré-SobolevおよびGagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式を、任意の境界値を有する一般の有限体積メッシュに拡張すること。
• DDFVスキームの収束および誤差解析の理論的基盤を、BV空間の埋め込みに基づいて提供すること。
• 連続的埋め込みに基づく単一の解析的枠組みの下で、既存の離散不等式を統一的かつ一般化すること。
• Dirichlet、Neumann、または混合境界条件を有する問題に対するDDFVスキームの収束解析を支援すること。

提案手法

• Lipschitz領域 Ω ⊂ ℝ^N（N ≥ 2）における空間BV(Ω)がL^{N/(N-1)}(Ω)に連続的に埋め込まれることを、基礎的な解析的道具として用いる。
• この埋め込みを応用して、特にDDFV（離散双対性有限体積）フレームワークにおいて、有限体積近似のための離散不等式を導出する。
• セルおよび双対セルの未知数に基づく離散勾配の定式化を採用し、メッシュの界面を介してフラックスを定義する。
• Cauchy-Schwarzおよびメッシュの角度α_Tを含む幾何的推定を用いて、離散セミノルムをL^qノルムで上から抑える。
• 境界条件が同次DirichletおよびNeumannの場合に、元の連続的埋め込みの議論を適応して、離散不等式を導出する。
• 離散関数のL^qノルムを、離散W^{1,p}セミノルムで上から抑える不等式を確立し、定数は領域の幾何的性質およびメッシュの正則性に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のメッシュおよび任意の境界条件を有する有限体積スキームに対して、離散的Gagliardo-Nirenberg-SobolevおよびPoincaré-Sobolev不等式を確立できるか？
• RQ2 BV(Ω)がL^{N/(N-1)}(Ω)に連続的に埋め込まれることを、有限体積文脈における堅牢な離散的関数不等式を導出するためにどのように適応できるか？
• RQ3 離散不等式の定数がメッシュの正則性、特に角度α_Tに依存するか、安定性はいかに保証されるか？
• RQ4 これらの不等式は、混合または非同次境界条件を有するDDFVスキームにどのように拡張できるか？
• RQ5 これらの不等式は、DDFVフレームワークにおいて非線形および異方性楕円型・放物型問題の収束解析を支援できるか？

主な発見

• 2次元において、同次Dirichlet境界条件を有するDDFVスキームに対して、離散的Poincaré-Sobolev不等式が確立された。これは1 ≤ p < 2および1 ≤ q ≤ p* = 2p/(2-p)、およびp ≥ 2および1 ≤ q < ∞に対して有効である。
• 不等式の定数はp、q、境界部 ̺0、領域Ω、およびメッシュの最小角度α_Tに依存し、分母に1/(sin(α_T))^{1/p}の因子を含む。
• p=2の場合、不等式は定数が1/sin(α_T)に比例する離散的Poincaré型の上界に簡略化され、メッシュの歪みに対して堅牢であることが確認された。
• この手法により、離散解のL^qノルムにおける一様な上界を提供することで、非線形および異方性PDEの収束解析が可能になった。
• 従来の結果を一般化するため、直交性などの制限的なメッシュ仮定を回避し、任意の境界値にまで拡張された。
• 統一された埋め込みに基づく議論により、DirichletおよびNeumann境界条件の両方を扱えるようになり、実世界の問題への適用性が向上した。