[論文レビュー] On discrete least square projection in unbounded domain with random evaluations and its application to parametric uncertainty quantification

Tao Tang, Tao Tang|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2014

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、無限大領域における確率的評価を伴う離散的最小二乗射影において、多項式の代わりにエルミート関数およびラゲル関数を用いることを提案する。これにより、近似空間次元に対して設計点数を線形スケーリング可能にし、安定性が著しく向上する。さらに、関数の減衰がガウス分布・ガンマ分布よりも速いか遅いかに応じて収束を加速するスケーリング係数を導入する。

ABSTRACT

This work is concerned with approximating multivariate functions in unbounded domain by using discrete least-squares projection with random points evaluations. Particular attention are given to functions with random Gaussian or Gamma parameters. We first demonstrate that the traditional Hermite (Laguerre) polynomials chaos expansion suffers from the extit{instability} in the sense that an extit{unfeasible} number of points, which is relevant to the dimension of the approximation space, is needed to guarantee the stability in the least square framework. We then propose to use the Hermite/Laguerre {\em functions} (rather than polynomials) as bases in the expansion. The corresponding design points are obtained by mapping the uniformly distributed random points in bounded intervals to the unbounded domain, which involved a mapping parameter $L$. By using the Hermite/Laguerre {\em functions} and a proper mapping parameter, the stability can be significantly improved even if the number of design points scales extit{linearly} (up to a logarithmic factor) with the dimension of the approximation space. Apart from the stability, another important issue is the rate of convergence. To speed up the convergence, an effective scaling factor is introduced, and a principle for choosing quasi-optimal scaling factor is discussed. Applications to parametric uncertainty quantification are illustrated by considering a random ODE model together with an elliptic problem with lognormal random input.

研究の動機と目的

• 離散的最小二乗法と確率的サンプリングを用いる際、従来のエルミート／ラゲル多項式クラウドが無限大領域で数値的に不安定になる理由を解決すること。
• 多項式ベースの最小二乗法において、安定性を確保するため指数的増加のサンプル数を必要とする問題を克服すること。
• ガウス分布またはガンマ分布に従うパラメータを持つ多次元関数に対して、安定的かつ効率的な最小二乗近似フレームワークを開発すること。
• 目的関数の減衰特性に応じて、収束速度を効果的に向上させるためのスケーリング係数を改善すること。
• スパースグリッドコロケーションによる高精度な基準解を用いて、ODEおよび楕円型PDEモデルに伴う対数正規分布入力のパラメトリック不確実性定量化において、本手法の有効性を実証すること。

提案手法

• 最小二乗射影における基底関数として、エルミート／ラゲル多項式の代わりにエルミート／ラゲル関数を用いることで、安定性を向上させること。
• 設計行列の条件数を制御するために、パラメータ $L$ を持つパラメトリック変換を用いて、有界区間内の一様分布するランダム点を無限大領域にマッピングすること。
• 関数表現にスケーリング係数 $\alpha$ を導入し、特に標準的でない減衰率を示す関数に対して収束を加速すること。
• 有効サポートサイズ $M$ を根拠とした基準に基づき、準最適なスケーリング係数 $\alpha$ を決定すること。
• ランダムサンプリングを用いる際の数値的安定性を向上させるために、ポイントドロップ戦略（式 3.33）を実装すること。
• 高精度な基準解をスパースグリッドコロケーションにより得た、対数正規分布入力を伴うランダムODEおよび楕円型PDEのパラメトリックUQ問題に、本フレームワークを適用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ従来のエルミート／ラゲル多項式クラウド手法は、無限大領域において離散的最小二乗法と確率的サンプリングを用いる際、失敗するのか？
• RQ2 エルミート／ラゲル関数は、無限大領域における最小二乗近似において、多項式よりも優れた安定性を提供できるか？
• RQ3 近似空間次元に対して設計点数を指数的スケーリングから線形スケーリングに削減するにはどうすればよいか？
• RQ4 目的関数の減衰が、基礎となるガウス分布／ガンマ分布よりも速いか遅いかに応じて、収束を加速する有効な戦略は何か？
• RQ5 マッピングパラメータ $L$ とスケーリング係数 $\alpha$ は、安定性および収束速度の制御においてどのように相互作用するか？

主な発見

• 従来のエルミート／ラゲル多項式クラウド手法は、最小二乗近似を安定化させるために、$(\#\Lambda)^{c\#\Lambda}$ のスケーリングを要する非現実的なサンプル数を必要とする。
• エルミート／ラゲル関数を多項式の代わりに用いることで、近似空間次元に対して設計点数が線形（対数的要因を除いて）にスケーリング可能な安定な近似が可能になる。
• マッピングされた一様分布ランダム点と適切なマッピングパラメータ $L$ を用いることで、設計行列の条件数が顕著に低減される。
• 有効サポートサイズ $M$ を根拠とした基準に基づき、準最適なスケーリング係数 $\alpha$ を決定でき、特に非ガウス的減衰を示す関数に対して収束が著しく速くなる。
• 数値実験では、線形サンプリングルールを用いたエルミート関数アプローチが、スケーリングなしでも良好な収束速度を示し、スケーリングによりさらに性能が向上することが示された。
• 本手法は、対数正規分布入力を伴うランダムODEおよび楕円型PDEに成功裏に適用され、実用的なパラメトリックUQ問題におけるロバストネスと効率性が実証された。