[論文レビュー] On sparse interpolation and the design of deterministic interpolation points

Zhiqiang Xu, Tao Zhou|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2013

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、チェビシェフ基底を用いた高次元スパース補間における補間点の決定的設計手法を提示する。この手法は、ランダムサンプリングと同等の性能を達成する。数論的構成を用いて一意可解な点集合を構築し、相互非整合性を分析することで、$M$ が素数であるとき、$m \gtrsim 9/2 \cdot 4^q d^2 s^2$ 個の点を用いて $\beta_1$ 最小化により $s$-スパース関数の正確な回復が可能となる。

ABSTRACT

In this paper, we build up a framework for sparse interpolation. We first investigate the theoretical limit of the number of unisolvent points for sparse interpolation under a general setting and try to answer some basic questions of this topic. We also explore the relation between classical interpolation and sparse interpolation. We second consider the design of the interpolation points for the $s$-sparse functions in high dimensional Chebyshev bases, for which the possible applications include uncertainty quantification, numerically solving stochastic or parametric PDEs and compressed sensing. Unlike the traditional random sampling method, we present in this paper a deterministic method to produce the interpolation points, and show its performance with $\ell_1$ minimization by analyzing the mutual incoherence of the interpolation matrix. Numerical experiments show that the deterministic points have a similar performance with that of the random points.

研究の動機と目的

• 一般の設定下で $s$-スパース補間に必要な最小の一意可解点数の理論的限界を確立すること。
• 一意可解性条件の分析を通じて、古典的補間とスパース補間の間のギャップを埋めること。
• 高次元チェビシェフ基底における $s$-スパース関数の安定的かつ正確な回復を保証する決定的補間点の設計。
• 決定的点がスパース回復タスクにおいてランダムサンプリングと同等の性能を達成できることを示すこと。

提案手法

• 素数とモジュラ算術を活用して、数論的技法を用いて構造的な点集合 $\Theta_M$ を生成する。
• 多変数チェビシェフ基底関数 $\mathbf{\Phi}_{\mathbf{n}}$ を決定的点 $x_j \in \Theta_M$ で評価することで補間行列 $\mathbf{A}$ を定義し、単位 $\ell_2$ ノルムを確保するための標準化された列を実現する。
• 補間行列 $\mathbf{A}$ の相互非整合性を分析し、$\ell_1$ 最小化による安定的回復を保証する。
• 近似理論と圧縮センシングの理論的道具を用いて、一意可解性および安定的回復に必要な点数の境界を導出する。
• 行列 $\mathbf{C}$ を用いて $\mathbf{A}$ の列を標準化し、条件数および非整合性特性を改善する。
• MATLAB の SPGL1 ソルバを用いて $\ell_1$ 最小化問題を数値的に解き、決定的点とランダムサンプリングの性能を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の基底設定下で、$s$-スパース補間に必要な最小の一意可解点数の理論的限界は何か？
• RQ2 $\ell_1$ 最小化により $s$-スパース関数の安定的かつ正確な回復を保証するような決定的補間点を構築可能か？
• RQ3 補間行列の相互非整合性は、決定的点とランダム点の両者における回復性能にどのように影響するか？
• RQ4 一意可解性および点集合設計の観点から、古典的補間とスパース補間の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 決定的点集合は、高次元の不確実性定量化および圧縮センシングにおいて、ランダムサンプリングと同等の性能を達成可能か？

主な発見

• $M$ が素数であるとき、決定的点集合 $\Theta_M$ は $m \geq \frac{9}{2} \cdot 4^q d^2 s^2 + 1$ 個の点を用いて $\ell_1$ 最小化により $s$-スパース関数の安定的回復を達成する。
• 理論的解析により $\|\mathbf{c}^\# - \mathbf{c}\|_2 \lesssim \frac{\sigma_{s,1}(\mathbf{c})}{\sqrt{s}}$ が得られ、一般の $s$-スパース関数に対する安定的回復が示される。
• 数値実験では、低次元および高次元のTPおよびTDチェビシェフ空間において、決定的点がランダムサンプリングと同等の性能を示す。
• $d=2, q=9, m=49$ および $d=3, q=6, m=69$ の場合、100回の試行において決定的点の成功率はランダム点と一致する。
• $M \equiv 1 \pmod{4}$ のとき、点 $\mathbf{p}_j$ の最初の座標はチェビシェフノードに対応し、古典的グリッドの自然な拡張であることが示される。
• 本手法は、圧縮センシングおよび不確実性定量化におけるランダムサンプリングの決定的代替手段を提供し、保証付きの回復性能を有する。