[論文レビュー] On Distribution depend SDEs with singular drifts

Guohuan Zhao|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特異な勾配係数をもつ分布依存型確率微分方程式（SDE）の適切な定式化を確立する。拡散係数にやや弱い正則性および非退化性条件を課すことにより、存在性を証明する。また、勾配係数に対して一般化された全 Variation における可積分性および連続性を仮定する。一意性は、勾配係数に追加のリプシッツ型連続性仮定を課すことにより示される。

ABSTRACT

We investigate the well-posedness of distribution dependent SDEs with singular coefficients. Existence is proved when the diffusion coefficient satisfies some non-degeneracy and mild regularity assumptions, and the drift coefficient satisfies an integrability condition and a continuity condition with respect to the (generalized) total variation distance. Uniqueness is also obtained under some additional Lipschitz type continuity assumptions.

研究の動機と目的

• 勾配係数が特異的（つまり滑らかでない）場合における分布依存型 SDE の適切な定式化を扱う。
• 解の存在および一意性を保証するための、勾配係数および拡散係数の最小限の条件を同定する。
• 平均場モデルで一般的に現れる特異な勾配を含む状況にまで、分布依存型 SDE の理論を拡張する。
• 一般化された全 Variation 距離におけるリプシッツ型連続性仮定のもとで一意性を確立する。

提案手法

• 拡散係数に対して非退化性およびやや弱い正則性仮定を課すことにより、解の存在を保証する。
• 勾配係数に対して可積分性条件を課すことにより、その特異的挙動を制御する。
• 一般化された全 Variation 距離に関する勾配係数の連続性条件を導入し、分布依存性を扱う。
• リプシッツ型連続性仮定のもとで、固定点法または収縮原理を適用してパスごとの一意性を証明する。
• 分布依存型 SDE に特化した確率解析および確率論的技術を用いる。
• 解の分布に関する勾配係数の連続性を測るため、一般化された全 Variation 距離を測度として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分布依存型 SDE が特異な勾配係数をもつ場合、弱解が存在するための条件は何か？
• RQ2 解の分布に依存する勾配係数を制御するには、どのような条件が必要か？
• RQ3 特異性が存在する状況において、パスごとの一意性を保証するための勾配係数の正則性条件は何か？
• RQ4 一般化された全 Variation 距離におけるリプシッツ型連続性仮定のもとで、一意性を確立できるか？
• RQ5 拡散係数の非退化性が適切な定式化を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 拡散係数が非退化性およびやや弱い正則性条件を満たす場合、解の存在が保証される。
• 勾配係数は一般化された全 Variation 距離に関する可積分性条件および連続性条件を満たす必要がある。
• 一般化された全 Variation 距離に関する勾配係数の追加のリプシッツ型連続性仮定のもとで、解の一意性が得られる。
• 本研究の結果により、分布依存型 SDE の理論が特異勾配を含む状況へと拡張され、平均場モデルへの応用範囲が広がる。
• 提示された可積分性および連続性基準を満たす限り、勾配係数が有界または滑らかでなくてもよい。
• 一般化された全 Variation 距離の使用により、勾配係数の分布依存性に対するきめ細やかな解析が可能になる。