[論文レビュー] On Distributionally Robust Chance Constrained Programs with Wasserstein Distance

Weijun Xie|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2018

Risk and Portfolio Optimization参考文献 45被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、ワサーライン正則化集合を用いた分布ロバストなチャンス制約プログラム（DRCCP）の正確かつ効率的な定式化を提案する。DRCCPが条件付きリスクバリュー（CVaR）制約問題に再定式化可能であることを示し、タイトな内部および外部近似を可能にするとともに、二値DRCCPに対して大規模なM係数を必要としない混合整数凸型定式化を導入し、従来の大規模Mアプローチに比べて計算性能を顕著に向上させる。

ABSTRACT

This paper studies a distributionally robust chance constrained program (DRCCP) with Wasserstein ambiguity set, where the uncertain constraints should be satisfied with a probability at least a given threshold for all the probability distributions of the uncertain parameters within a chosen Wasserstein distance from an empirical distribution. In this work, we investigate equivalent reformulations and approximations of such problems. We first show that a DRCCP can be reformulated as a conditional value-at-risk constrained optimization problem, and thus admits tight inner and outer approximations. We also show that a DRCCP of bounded feasible region is mixed integer representable by introducing big-M coefficients and additional binary variables. For a DRCCP with pure binary decision variables, by exploring the submodular structure, we show that it admits a big-M free formulation, which can be solved by a branch and cut algorithm. Finally, we present a numerical study to illustrate the effectiveness of the proposed formulations.

研究の動機と目的

• ワサーライン正則化集合を用いた分布ロバストなチャンス制約プログラム（DRCCP）の正確かつ計算上で扱いやすい再定式化を開発すること。
• 条件付きリスクバリュー（CVaR）再定式化を活用して、DRCCPのタイトな内部および外部近似を確立すること。
• 大規模M係数と二値変数を用いて、有界な実行可能領域を有するDRCCPの混合整数凸型定式化を提供すること。
• 部分集合の単調性構造を活用して、二値DRCCPの定式化から大規模M係数を排除する新しい定式化を構築し、分枝カット法によるより効率的な解法を可能にすること。
• 数値実験を通じて、提案定式化の有効性および計算上の優位性を実証すること。

提案手法

• DRCCPを条件付きリスクバリュー（CVaR）制約付き最適化問題に再定式化し、タイトな内部および外部近似を可能にする。
• 大規模M係数と追加の二値変数を用いて、有界な実行可能領域を有するDRCCPの混合整数凸型計画問題としての定式化を導出する。
• 二値DRCCPの場合に見られる単調性構造を同定し、大規模M係数を回避するM係数フリー定式化を構築する。
• 二値DRCCPのM係数フリー定式化を解くための分枝カットアルゴリズムを提案する。
• ワサーライン距離を用いて、経験分布を中心とする正則化集合を定義し、分布シフトに対してロバストであることを保証する。
• 標本に基づく経験分布を用い、ワサーライン距離の収束性を活用して統計的一致性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ワサーライン正則化集合を用いた分布ロバストなチャンス制約プログラムは、CVaR制約問題に再定式化可能か？
• RQ2 このようなDRCCPのタイトな可能な内部および外部近似は何か？
• RQ3 有界な実行可能領域を有するDRCCPは、大規模M係数を用いて正確に混合整数凸型計画問題として表現可能か？
• RQ4 構造的性質を活用することで、二値DRCCPの定式化から大規模M係数を排除することは可能か？
• RQ5 実際の計算において、M係数フリー定式化は従来の大規模M定式化に比べて性能が優れているか？

主な発見

• M係数フリー定式化は、二値DRCCPにおいて大規模M定式化を著しく上回り、平均して10分以内に全インスタンスを解消できる。一方、大規模Mモデルは頻繁に時間制限に達する。
• 低リスク（ε = 0.05）かつ小規模なワサーライン半径（δ = 0.05）条件下では、M係数フリーモデルの平均解法時間は73.2秒であるのに対し、大規模Mモデルは1467.6秒である。
• 高リスク（ε = 0.1）かつ小規模なδ条件下では、M係数フリーモデルの平均解法時間は131.5秒であるが、大規模Mモデルは平均3600秒（時間制限）に達する。
• M係数フリー定式化はO(n)の二値変数とO(N)の連続変数を用いるが、大規模MモデルはO(N + n)の二値変数とO(N×I)の連続変数を必要とし、モデルの複雑さが低減される。
• M係数フリー定式化は、ソルバの性能と数値的安定性を損なうとされる大規模係数値を回避する。
• 数値結果により、εを増加させたりδを減少させたりすると、両定式化の解法時間が延長されることが確認されたが、M係数フリー定式化はあらゆる設定において顕著に高速であることが示された。