[論文レビュー] On Dual Formulation of Gravity. II. Metric and Affine Connection

Yu. M. Zinoviev|ArXiv.org|Jun 26, 2005

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、(反)デSitter空間における一次元親ラグランジアンを経由して導かれる、接続が主要な力学的場である重力の二重形式を提示する。二次的補正を通じてゲージ不変性を回復し、計量を解くことで得られる二次形式ラグランジアンは、1924年にエディントンが提唱したものと一致し、曲がった背景における通常の計量重力と、接続に基づく形式の双対性を示している。

ABSTRACT

In this note we construct a dual formulation of gravity where the main dynamical object is affine connection. We start with the well known first order Palatini formulation but in (Anti) de Sitter space instead of flat Minkowski space as a background. The final result obtained by solving equations for the metric is the Lagrangian written by Eddington in his book in 1924. Also there is an interesting connection with attempts to construct gravitational analog of Born-Infeld electrodynamics.

研究の動機と目的

• 計量ではなく接続を基本的な力学的場とする重力の二重形式を構築すること。
• 平坦空間では破綻するゲージ不変性を、二次的質量項を導入する(Anti) de Sitter空間で回復すること。
• ゲージ対称性の制約により、(A)dS空間におけるスピン2の質量なし粒子の双対化手続きが、質量あり粒子の場合と同一に進行することを示すこと。
• 接続を主な場として用いたパラティーニ形式において、Eddingtonの1924年ラグランジアンを二重形式として導出すること。
• 特にスカラー場およびベクトル場の物質結合が、二重アフィン形式においてどのように現れるかを検討すること。

提案手法

• 対称テンソル $ h_{\mu\nu} $ と接続 $ \Gamma_{\mu\nu}{}^\alpha $ を持つ一次元パラティーニ型ラグランジアンを、(反)デSitter背景に適応して出発する。
• 平坦なミンコフスキー計量と偏微分を、(A)dS背景計量 $ \bar{g}_{\mu\nu} $ と共変微分 $ D_\mu $ に置き換え、曲率補正を導入する。
• 接続のゲージ変換則に曲率依存補正を加えつつ、$ h_{\mu\nu} $ における二次項を追加することで、ゲージ不変性を回復する。
• 運動方程式の代数的関係から $ h_{\mu\nu} $ を解き、接続によって定義されるリッチ類似テンソル $ R_{(\mu\nu)} $ で表す。
• 解をラグランジアンに再代入し、接続のみに依存する二次形式の作用を導出する。
• 得られたラグランジアンが、接続とその曲率のみに依存するエディントンの1924年作用と一致することを認識する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計量ではなく接続を主な力学的場とする重力の二重形式を構築できるか？
• RQ2 平坦空間では失敗するが、(反)デSitter空間を用いることで、重力の一次元ラグランジアンにおけるゲージ不変性がどのように回復されるか？
• RQ3 質量なしの粒子に対する(A)dS空間内での双対化手続きが、なぜ質量あり粒子の場合と同一に進行するのか？
• RQ4 接続のみに依存する二次形式ラグランジアンが、エディントンの1924年作用を再現するか？
• RQ5 特にスカラー場およびベクトル場の物質結合が、この二重アフィン形式においてどのように現れるか？

主な発見

• (反)デSitter空間における重力の二重形式は、接続のみに依存する二次形式ラグランジアンを導き、これはエディントンの1924年作用と一致する。
• 一次元ラグランジアンのゲージ不変性は、$ h_{\mu\nu} $ における二次項の追加により回復され、ゲージ変換則には曲率パラメータ $ \kappa $ に依存する補正が含まれる。
• $ h_{\mu\nu} $ の解は $ h_{\mu\nu} = \frac{1}{\kappa(d-1)}[R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\bar{g}_{\mu\nu}R] $ で与えられ、ここで $ R_{\mu\nu} $ は接続から構成されるリッチ類似テンソルである。
• 最終的なラグランジアン $ \mathcal{L}_{II} = -\frac{1}{\kappa(d-1)}[R^{\mu\nu}R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}R^2] + \bar{g}^{\mu\nu}(\Gamma_{\mu\nu}{}^\alpha\Gamma_\alpha - \Gamma_{\mu\alpha}{}^\beta\Gamma_{\nu\beta}{}^\alpha) $ は局所アフィン変換に対して不変である。
• 定曲率背景の小さな摂動において、ラグランジアンは $ \mathcal{L} = \sqrt{\det(\Lambda\bar{g}_{\mu\nu} + \tilde{R}_{\mu\nu})} $ に簡略化され、ボーン＝インフェルト型重力モデルの形と一致する。
• 二重形式における物質結合では、スカラー場に対しては $ R_{\mu\nu} $ を $ R_{\mu\nu} + \frac{1}{2}\partial_\mu\varphi\partial_\nu\varphi $ に置き換え、質量付きスカラー場では宇宙定数を修正するが、ベクトル場は二重形式で極めて非線形な方程式を導く。