[論文レビュー] On dualizable objects in monoidal bicategories, framed surfaces and the Cobordism Hypothesis

Piotr Pstrągowski|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、モノイダル2-圏および対称モノイダル2-圏における双対可能対象および完全双対可能対象について、双対可能であるという性質と同値な性質的構造としての「整合的双対ペア」と「整合的完全双対ペア」を導入し、それらに関する一貫性定理を確立する。フレーム付き表面のための拡張された図式的計算体系を用いて、フレーム付き bordism 2-圏を提示し、それが自由な対称モノイダル2-圏における整合的完全双対ペアの生成元としての同型であることを示すことにより、2次元の Bordism 予想を証明する。

ABSTRACT

We prove coherence theorems for dualizable objects in monoidal bicategories and for fully dualizable objects in symmetric monoidal bicategories, describing coherent dual pairs and coherent fully dual pairs. These are property-like structures one can attach to an object that are equivalent to the properties of dualizability and full dualizability. We extend diagrammatic calculus of surfaces of Christopher Schommer-Pries to the case of surfaces equipped with a framing. We present two equivalence relations on so obtained framed planar diagrams, one which can be used to model isotopy classes of framings on a fixed surface and one modelling diffeomorphism-isotopy classes of surfaces. We use the language of framed planar diagrams to derive a presentation of the framed bordism bicategory, completely classifying all two-dimensional framed topological field theories with arbitrary target. We then use it to show that the framed bordism bicategory is equivalent to the free symmetric monoidal bicategory on a coherent fully dual pair. In lieu of our coherence theorems, this gives a new proof of the Cobordism Hypothesis in dimension two.

研究の動機と目的

• モノイダル2-圏における双対可能対象の、一貫性のある代数的特徴づけを提供すること。
• クリストファー・ショーマー＝プリースの図式的計算体系をフレーム付き表面へと拡張すること。
• フレーム付き bordism 2-圏の完全な有限提示を提示すること。
• 一貫性および図式的技法を用いて、2次元の Bordism 予想の新しい証明を確立すること。
• フレーム付き bordism 2-圏が、整合的完全双対ペアを生成元とする自由な対称モノイダル2-圏と同値であることを示すこと。

提案手法

• モノイダル2-圏における双対可能性と同値な構造としての『整合的双対ペア』の概念を導入する。
• フレーム付き平面図式計算を構築し、フレーム付き表面の同相型と微分同相型同相型をモデル化する。
• フレーム付き平面図式に二つの同値関係を定義する：一つはフレームの同値関係、もう一つは表面の微分同相型同相型の同値関係。
• 図式的計算から得られる生成元と関係式を用いて、フレーム付き bordism 2-圏の有限提示を構成する。
• 一貫性定理を適用し、Bordism 予想を二つの有限提示された対称モノイダル2-圏間の比較に還元する。
• bicategory における Lack モデル構造を用いて、同型の上昇および持ち上げ技術を用い、形状とそれらの持ち上げられた構造の間の同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノイダル2-圏における双対可能性は、どのように一貫性のある代数的構造として特徴づけられるか？
• RQ2 同相型と微分同相型同相型を捉えるために、正しいフレーム付き表面の図式的計算体系とは何か？
• RQ3 フレーム付き平面図式計算から得られる生成元と関係式を用いて、フレーム付き bordism 2-圏を完全に提示できるか？
• RQ4 フレーム付き bordism 2-圏は、整合的完全双対ペアを生成元とする自由な対称モノイダル2-圏と同値か？
• RQ5 完全双対可能対象における一貫性定理は、2次元の Bordism 予想の直接的証明を可能にするか？

主な発見

• 整合的双対ペアの2-圏から双対可能対象のグループイドへの忘却準同型は、対象に関して全射である同値であり、これにより整合的双対ペアが双対可能性と同値な性質的構造であることが証明される。
• フレーム付き bordism 2-圏は、二つの同値関係（フレームの同値関係と微分同相型同相型の同値関係）を備えたフレーム付き平面図式を用いた有限提示を持つ。
• フレーム付き bordism 2-圏は、整合的完全双対ペアを生成元とする自由な対称モノイダル2-圏と同値であり、2次元の Bordism 予想の新しい証明が得られる。
• 形状の圏における同値の上昇と可逆な2-セルの持ち上げにより、構造の一意的な持ち上げが保証され、2-圏の有限提示が可能になる。
• 対称モノイダル2-圏における完全双対可能対象のための一貫性定理により、整合的完全双対ペアが完全双対可能性と同値であることが示される。
• フレーム付き表面のための図式的計算体系により、任意のターゲットを持つ2次元のフレーム付きトポロジカル量子場理論の明示的計算と分類が可能になる。