[論文レビュー] On (Enriched) Left Bousfield Localization of Model Categories

Clark Barwick|ArXiv.org|Aug 15, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 31

ひとこと要約

この論文は、モデル圏における左ボウスフィールド局在化および拡張された左ボウスフィールド局在化の存在を確立し、特定の写像の類を逆にすることで新たなモデル圏を構成するための枠組みを提供する。これらの局在化におけるファイブレーションの特徴づけを行い、対称的モノイダルモデル圏における右クワイレン・プレシアーブのホモトピー極限、ポストニコフ塔、およびホモトピー的整合性のある降下条件を満たすプレシアーブのモデルの構成に理論を応用する。

ABSTRACT

I verify the existence of left Bousfield localizations and of enriched left Bousfield localizations, and I prove a collection of useful technical results characterizing certain fibrations of (enriched) left Bousfield localizations. I also use such Bousfield localizations to construct a number of new model categories, including models for the homotopy limit of right Quillen presheaves, for Postnikov towers in model categories, and for presheaves valued in a symmetric monoidal model category satisfying a homotopy-coherent descent condition.

研究の動機と目的

• 結合的かつ扱いやすいモデル圏における左ボウスフィールド局在化の存在を確立すること。
• 理論を拡張し、拡張されたモデル圏における左ボウスフィールド局在化を定義し、その存在を証明すること。
• これらの局在化されたモデル構造におけるファイブレーションの特徴づけを提供すること、特に $ H $-局在的ファイブレーション対象間のファイブレーションに沿ったホモトピー・プルバックであるものについて。
• 局在化の仕組みを応用し、右クワイレン・プレシアーブのホモトピー極限およびポストニコフ塔のための新たなモデル圏を構成すること。
• 対称的モノイダルモデル圏値をとるプレシアーブについて、ホモトピー的整合性のある降下条件を満たすモデルを開発すること。

提案手法

• 結合的モデル圏における左ボウスフィールド局在化の存在定理（スミスの定理）を用い、生成コフェイブレーションおよびその同値類の小さな集合に依存する。
• 扱いやすいモデル圏の枠組みを適用し、コフェイブレーションと弱同値が制御された局在化の存在を保証する。
• $ H $-局在的対象を、すべての $ f \in H $ に対して導来写像空間 $ \mathbf{R} \operatorname{Mor}_{\mathbf{M}}(f,X) $ が弱同値であるようなものとして定義し、同じ底辺カテゴリ上に局在化されたモデル構造を構成する。
• 拡張された設定では、 enriching 圏 $ \mathbf{V} $ における導来写像対象 $ \mathbf{RMor}_{\mathbf{M}}^{\mathbf{V}}(f,X) $ を用いて $ (H/\mathbf{V}) $-局在的対象を定義し、拡張された局在化の存在を証明する。
• 特定の $ H $-局在的ファイブレーションは、$ H $-局在的ファイブレーション対象間のファイブレーションに沿ったホモトピー・プルバックであると特徴づけられる。
• 局在化の仕組みを応用し、モデル圏の図式のホモトピー極限、ポストニコフ塔、および colimit および holim 構成を用いた拡張圏における降下カテゴリのモデルを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合的または扱いやすいモデル圏における任意の写像の類 $ H $ に対して左ボウスフィールド局在化が存在するか？
• RQ2 モデル圏が対称的モノイダルモデル圏 $ \mathbf{V} $ に沿って拡張されているとき、左ボウスフィールド局在化の拡張版が構成可能か？
• RQ3 局在化されたモデル圏におけるどのファイブレーションが明示的に特徴づけられるか、特にホモトピー・プルバックの観点から。
• RQ4 局在化の仕組みを用いて、右クワイレン・プレシアーブのホモトピー極限のためのモデル圏を構成可能か？
• RQ5 一般のモデル圏において、左ボウスフィールド局在化を用いてポストニコフ塔のモデルを構成可能か？

主な発見

• 結合的または扱いやすいモデル圏における左ボウスフィールド局在化は、任意の写像の類 $ H $ に対して存在する。$ H $-局在的弱同値、$ H $-局在的コフェイブレーション（$ \mathbf{M} $ と同じ）およびファイブレーション対象は、$ \mathbf{M} $ でファイブレーションである $ H $-局在的対象である。
• モデル圏 $ \mathbf{M} $ が対称的モノイダルモデル圏 $ \mathbf{V} $ に沿って拡張されているとき、拡張された左ボウスフィールド局在化は存在する。$ H $-局在的ファイブレーションは $ \mathbf{V} $ 内の導来写像対象を用いて特徴づけられる。
• 特定の $ H $-局在的ファイブレーションは、$ H $-局在的ファイブレーション対象間のファイブレーションに沿ったホモトピー・プルバックとして同定され、それらを検出する実用的な方法を提供する。
• この理論により、右クワイレン・プレシアーブのホモトピー極限のモデルが得られ、局在化されたモデル圏における極限として実現される。
• モデル圏におけるポストニコフ塔は、連続する左ボウスフィールド局在化を用いて構成可能であり、単体的集合における古典的構成を一般化する。
• ホモトピー的整合性のある降下条件を満たす、対称的モノイダルモデル圏値をとるプレシアーブに局所的モデル構造が存在し、拡張局在化の仕組みを用いて証明される。