[論文レビュー] On exact solutions and numerics for cold, shallow, and thermocoupled ice sheets

Ed Bueler, Jed Brown|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2006

Cryospheric studies and observations参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、冷たく浅い熱的結合型アイスシートモデルに対する正確な解析的解を提示し、数値スキームの厳密な検証を可能にする。所定の厚さおよび温度分布が連立された質量収支およびエネルギー収支方程式を満たすために必要な補正降雪量および熱源関数を導出し、EISMINT シミュレーションにおける「スポーク」の発生原因を温度移流スキームの不安定性に起因するものとして解明する C 言語実装と誤差解析を提供する。

ABSTRACT

This three section report can be regarded as an extended appendix to (Bueler, Brown, and Lingle 2006). First we give the detailed construction of an exact solution to a standard continuum model of a cold, shallow, and thermocoupled ice sheet. The construction is by calculation of compensatory accumulation and heat source functions which make a chosen pair of functions for thickness and temperature into exact solutions of the coupled system. The solution we construct here is ``TestG'' in (Bueler and others, 2006) and the steady state solution ``Test F'' is a special case. In the second section we give a reference C implementation of these exact solutions. In the last section we give an error analysis of a finite difference scheme for the temperature equation in the thermocoupled model. The error analysis gives three results, first the correct form of the Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) condition for stability of the advection scheme, second an equation for error growth which contributes to understanding the famous ``spokes'' of (Payne and others, 2000), and third a convergence theorem under stringent fixed geometry and smoothness assumptions.

研究の動機と目的

• 熱的結合型アイスシートモデルに対して、冷たく浅いアイスシート近似のもとでの正確な解析的解を構築すること。
• 所定の厚さおよび温度分布を持つ既知の解を提供することで、アイスシートモデルの数値的検証を厳密に行えるようにすること。
• 有限差分スキームの安定性および収束性を、特に CFL 條件および誤差増幅の観点から温度方程式に対して分析すること。
• EISMINT II シミュレーションに現れる「スポーク」——アーティファクト——の発生を、ひずみ加熱の温度依存性に関する局所リプシッツ定数と結びつけて説明すること。
• モデルの検証およびテストに使用可能な正確な解の参照 C 実装を提供すること。

提案手法

• 時間的および径方向に依存する厚さ $ H(t,r) = H_s(r) + \phi(r)\gamma(t) $ を指定することで解を構築し、$ \phi(r) $ はコサイン型の摂動とする。
• 温度プロファイル $ T(t,r,z) = T_s(r) \frac{\nu(t,r) + H(t,r)}{\nu(t,r) + z} $ を仮定し、$ \nu $ は $ H $ と $ T_s $ から導出され、境界条件を満たすようにする。
• Glen の流れ則を整数 $ n $ を用いて解析的に速度場 $ \mathbf{U} $ を計算し、積分恒等式 $ \int e^x x^n dx = p_n(x) e^x $ を活用する。ここで $ p_n $ は再帰的に定義される多項式である。
• 支配方程式に正確な場の分布を代入し、必要な駆動力（補正降雪量および熱源）$ \Sigma_c $ を導出する。
• 温度方程式に対する有限差分スキームの解析を行い、正しい CFL 條件および局所ひずみ加熱勾配を含む誤差増幅不等式を導出する。
• C 実装により、グリッド点におけるすべての場および源項の評価が可能な参照コードを提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 所定の厚さおよび温度分布が熱的結合型アイスシート方程式の正確な解となるようにするための、補正降雪量および熱源関数の明示的表現は何か？
• RQ2 ひずみ加熱の温度に関する局所リプシッツ定数が、有限差分スキームにおける誤差増幅に与える影響は何か？
• RQ3 なぜ EISMINT II シミュレーションに「スポーク」——アーティファクト——が発生するのか？これは流れ則の温度依存性と関連しているか？
• RQ4 このモデルにおける温度方程式の移流スキームの安定性に必要な正しい CFL 條件は何か？
• RQ5 有限差分スキームにおける誤差は時間経過とともにどのように増大するのか？収束が保証される条件は何か？

主な発見

• 「テスト G」としての正確な解が、与えられた $ H(t,r) $ および $ T(t,r,z) $ が連立された質量収支およびエネルギー収支方程式を満たすようにするための必要な源項 $ \Sigma_c $ および $ M $ を導出することによって構築される。
• 移流スキームの正しい CFL 條件は $ \Delta t \leq \min_{ijkl} \left\{ \frac{\Delta z}{|w_{ijkl}|} \right\}^{-1} $ として導出され、垂直速度の大きさに依存する。
• スキームにおける誤差増幅は、時間刻み、局所的ひずみ加熱、および切り捨て誤差を含む局所的不等式によって支配され、誤差増幅において最も影響力を持つのは前者の項である。
• 局所リプシッツ定数 $ L_{ijkl} = \Sigma_{ijkl} \frac{Q}{R T_{ijkl}^2} $ が、EISMINT II シミュレーションにおける「スポーク」の発生を説明する。これは冷たいアイスから暖かいアイスへの遷移時に急激に増大するためである。
• 収束定理は、固定された幾何形状および正確な解の滑らかさという厳しい仮定のもとで成り立つ。これにより、有限差分スキームが $ \Delta x \to 0 $ のとき収束することが保証される。
• C 実装により、正確な解の完全に動作する参照コードが提供され、数値モデルの検証に既知の解析的ベンチマークとして使用可能となる。