[論文レビュー] On exceptional rigid local systems

Michael Dettweiler, Stefan Reiter|ArXiv.org|Sep 5, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$G_2$-rigid な局所系が $ {GL}_7$-rigid でないにもかかわらずモチーフ的であることを示す新しい例を構成することで、シンプソンの剛性予想の新たな事例を証明する。テンソル積、ミドルコントビューション、および Künneth 公式を用いて、その局所系が滑らかな準同型の高次直接像から生じることを示し、そのモチーフ的性質を確認するとともに、$ {GL}_n$-rigid でない場合への既知の結果の拡張を達成する。

ABSTRACT

We prove new instances of Simpson's rigidity conjecture which states that quasi-unipotent rigid local systems should be motivic. We construct new relative motives over the fourfold punctured Riemann sphere which give rise to $G_2$-rigid local systems which are not rigid in the group $\GL_7.$

研究の動機と目的

• $G_2$-rigid な局所系が $\mathrm{GL}_7$-rigid でない場合のシンプソンの剛性予想を検証すること。
• $\mathrm{GL}_n$-rigidity から生じるもの以上のクラスのモチーフ的局所系を拡張すること。
• 指定されたモノドロミーのジョルダン標準形を持つ、$\mathbb{P}^1 \setminus \{x_1,x_2,x_3,\infty\}$ 上の明示的な $G_2$-rigid 局所系を構成すること。
• $G_2$-rigidity が $\mathrm{GL}_7$-rigidity を意味しないにもかかわらず、剛性予想が依然として成り立つことを示すこと。

提案手法

• $\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$-rigid な局所系を2つ選び、それらのテンソル積をとることで、ランク4の $\mathrm{SO}_4(\mathbb{C})$-rigid 局所系を得る。
• テンソル積にパラメータ $\zeta_3^{-1}$ を用いたミドルコントビューションを適用し、ランク7の新しい局所系を得る。
• 2回目のミドルコントビューションとテンソル演算を用いて、$\mathbb{P}^1 \setminus \{x_1,x_2,x_3,\infty\}$ 上の $G_2(\mathbb{C})$-rigid 局所系 ${\cal H}$ を構成する。
• 局所系 ${\cal H}$ のモノドロミータプルが、指定されたジョルダン標準形 $\mathrm{J}(2,2,1,1,1)$、$\mathrm{J}(2,2,1,1,1)$、$\mathrm{diag}(1,\zeta_3,\zeta_3,\zeta_3,\zeta_3^{-1},\zeta_3^{-1},\zeta_3^{-1})$、および $\mathrm{J}(3,3,1)$ を持つことを確認する。
• モノドロミー行列の構造と群論的制約を用いて、モノドロミー像のザリスキ閉包が $G_2(\mathbb{C})$ に丁度一致することを確認する。
• カーネルの公式とカッツの研究によるミドルコントビューションのモチーフ的解釈を用いて、モチーフ性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathrm{GL}_7$-rigid でない $G_2$-rigid 局所系であっても、シンプソンの剛性予想が示唆するようにモチーフ的である可能性はあるか？
• RQ2 4つの穴あきリーマン球面上のこのような $G_2$-rigid 局所系のモノドロミー構造はいかなるものか？
• RQ3 ミドルコントビューションとテンソル演算を用いて、$\mathrm{GL}_n$-rigid フレームワークを超えた新しいモチーフ的局所系を構成できるか？
• RQ4 トリビアルでないジョルダン形と非可約な $\mathrm{GL}_7$-共轭類を有する $G_2$-rigid 局所系に対して、モチーフ的解釈は存在するか？
• RQ5 こうした局所系の重みとホッジ構造は、以前に知られていた例とどのように比較されるか？

主な発見

• $\mathbb{P}^1 \setminus \{x_1,x_2,x_3,\infty\}$ 上に、モノドロミーのジョルダン標準形が $\mathrm{J}(2,2,1,1,1)$、$\mathrm{J}(2,2,1,1,1)$、$\mathrm{diag}(1,\zeta_3,\zeta_3,\zeta_3,\zeta_3^{-1},\zeta_3^{-1},\zeta_3^{-1})$、および $\mathrm{J}(3,3,1)$ を持つ $G_2(\mathbb{C})$-rigid 局所系 ${\cal H}$ が存在する。
• 局所系 ${\cal H}$ のモノドロミー表現のザリスキ閉包は正確に $G_2(\mathbb{C})$ であり、$G_2$-rigid であることが確認された。
• 局所系 ${\cal H}$ は $\mathrm{SO}_7(\mathbb{C})$-rigid ではあるが $\mathrm{GL}_7(\mathbb{C})$-rigid ではないため、$G_2$-rigid であっても $\mathrm{GL}_7$-rigid であるとは限らないことが示された。
• 剛性予想は ${\cal H}$ に対して成り立つ。なぜなら、ミドルコントビューションのモチーフ的解釈を用いて、${\cal H}$ が高次直接像 $R^i\pi_*(\mathbb{C})$ の部分因子として生じるからである。
• ${\cal H}$ のホッジ構造としての重みは4であり、以前の研究における $G_2$-局所系の重み6とは対照的である。
• 明示的なモノドロミー行列 $h_1, h_2, h_3 \in \mathrm{GL}_7(\mathbb{C})$ が提供されており、$h_4 = (h_1 h_2 h_3)^{-1}$ を満たし、必要なジョルダン形と群論的制約を満たしている。