[論文レビュー] On exponential stability for stochastic differential equations disturbed by G-Brownian motion

Weiyin Fei, Chen Fei|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、モデルの不確実性を組み込んだ状況下で、G-ブラウン運動によって駆動される確率微分方程式の準確確実な指数的安定性の基準を、G-リャプノフ関数のアプローチにより、非線形期待値空間上で確立する。古典的な安定性結果を一般化し、漂移項、拡散項、成長率に関する特定の条件下で、解が概ね確実に指数的に減少することを示している。

ABSTRACT

We first introduce the calculus of Peng's G-Brownian motion on a sublinear expectation space $(Ω, {\cal H}, \hat{\mathbb{E}})$. Then we investigate the exponential stability of paths for a class of stochastic differential equations disturbed by a G-Brownian motion in the sense of quasi surely (q.s.). The analyses consist in G-Lyapunov function and some special inequalities. Various sufficient conditions are obtained to ensure the stability of strong solutions. In particular, by means of our results we generalize the one in the classical stochastic differential equations. Finally, an illustrative example is given.

研究の動機と目的

• モデルの不確実性下での確率微分方程式の安定性解析の不足に応えること、特にG-ブラウン運動によって駆動される場合に焦点を当てる。
• モデルの不確実性を明示的に取り入れた非線形期待値空間の枠組みにおいて、古典的な指数的安定性結果を拡張すること。
• G-リャプノフ関数と特殊な不等式を用いて、G-SDEの強い解の準確確実な指数的安定性を保証する十分条件を構築すること。
• ボラティリティの不確実性をG-ブラウン運動の枠組みを通じて組み込むことにより、古典的な安定性理論を一般化すること。

提案手法

• 非線形期待値空間 $(\Omega, \mathcal{H}, \hat{\mathbb{E}})$ 上におけるG-ブラウン運動のための微分積分学的枠組みを導入し、モデルの不確実性下での確率的解析を可能にする。
• G-リャプノフ関数 $V(x,t)$ を用いて、G-SDEの経路の安定性を分析し、その時間微分およびヘッセ行列に関する条件を設定する。
• 非線形期待値下での伊藤の公式を適用し、漂移項、拡散項、および二次変動項を含む $\log V(X(t),t)$ に対する対数不等式を導出する。
• 関数 $V$ の成長、生成子 $\underline{L}V$、ヘッセ行列項 $HV$ に対する条件を課し、解の挙動を制御する。
• マルティングルの不等式（補題2.6）を適用して確率積分項をバウンディングし、対数的成長率のパスワイズバウンドを導出する。
• 時間平均の下限に関する極限条件 $\liminf_{t\to\infty} \frac{1}{t} \int_0^t \varphi(s)\,ds$ を用いて安定性を確立し、指数的減衰率と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G-ブラウン運動によって駆動されるG-SDEの解が、概ね確実に指数的に安定となる条件は何か？
• RQ2 古典的なリャプノフ法は、モデルの不確実性下での安定性解析にどのように非線形期待値枠組みに適合させられるか？
• RQ3 G-リャプノフ関数は、ボラティリティの不確実性を伴う確率的システムの長期的挙動をどのように特徴づけるか？
• RQ4 古典的SDEの安定性結果は、G-ブラウン運動の枠組みを通じて、ボラティリティの不確実性を有する系へと一般化可能か？

主な発見

• G-SDE (3.1) の解は、概ね確実に $\liminf_{t\to\infty} \frac{1}{t} \log |X(t;t_0,x_0)| \geq \frac{\kappa}{p} \left(\lambda - \frac{\bar{\sigma}^2 \rho}{2}\right)$ を満たし、右辺が正のとき指数的安定性を示す。
• $\lambda > \frac{\bar{\sigma}^2 \rho}{2}$ かつ $\kappa > 0$ のとき、システムは概ね確実に指数的に安定であり、古典的結果を一般化している。
• 例 (3.11) は、$2\alpha - \beta^2 \bar{\sigma}^2 > 0$ のとき、$dX(t) = -\alpha X(t)dt + \beta X(t)dB_t$ の自明解が概ね確実に指数的に安定であることを確認し、減衰率は $-\lambda/p$ である。
• 減衰率の条件が満たされない場合に、準確確実な指数的不安定性が証明され、安定性基準の鋭さが示された。
• G-伊藤の公式と非線形期待値のツールを活用することで、非線形性とボラティリティの不確実性を効果的に扱える。
• 分析が不確実性を内蔵する枠組みで行われたため、モデルの不確実性に対して結果が頑健である。